Математика *

Вам это может показаться странным, но были времена, когда отрицательные числа казались людям чем-то неестественным, причём даже тем людям, которые зарабатывали себе на жизнь числами — математикам. Как можно считать числом то, что не имеет физического воплощения? С отрицательными числами в итоге смирились, но уж что точно невозможно было терпеть, так это совсем непонятную величину, квадрат которой, это уже противоречит всякому здравому смыслу. Тем не менее время показало, что законы физики и математики, сформулированные с использованием имеют больший смысл, чем законы, сформулированные без неё. Еще в 19 веке Карл Фридрих Гаусс отметил, что "Если бы вместо того, чтобы называть +1, −1,​ положительной, отрицательной или мнимой (или даже невозможной) единицей, их назвали бы, скажем, прямой, обратной или боковой единицей, то едва ли можно было бы говорить о какой-либо темноте".

В статье хочу рассказать о том, как небольшой математический трюк, придуманный для решения кубических уравнений 500 лет назад, вошёл в фундамент современной науки и инженерии.

Как обещали в первом посте, возвращаемся с подробным анонсом осенних курсов. В этом семестре мы организуем большие и малые курсы, охватывающие несколько тем в компьютерных науках, искусственном интеллекте и математике.

Лет 5 назад я усиленно пытался вникнуть в тервер и статы: книги, статьи, вебсёрфинг. Даже написал несколько статей: раз, два, три. Вообще, в планах было написать довольно большой цикл статей, что бы подсветить какие-то самые сложные вещи, да и самому в них разобраться - совместить полезное с полезным, так сказать. Однако, в какой-то момент я решил, что полученных знаний достаточно для новых проектов и ушел в работу. Работал. Работал. Работал.

Коллектив ученых из МФТИ, Университета искусственного интеллекта имени Мохаммеда бен Заида (Абу-Даби, ОАЭ), Иннополиса и Сколтеха исследовал задачу решения вариационных неравенств при неточной информации о производных. Им удалось предложить новый численный метод, а также теоретически и экспериментально показать его преимущества перед старыми методами. Работа опубликована в материалах конференции NeurIPS 2024.

В новой статье, представленной на конференции NeurIPS 2024, исследовано влияние неточности якобиана на методы второго порядка, а именно: доказана нижняя оценка сложности (граница быстрее которой методы с неточным якобианом не могут сходится), предложен оптимальный алгоритм и предложены варианты квази-ньютоновской аппроксимации якобиана. 

Внимание, эвристика и метафоричность для быстрой усвояемости.

Вдохновление: интерпретация Эверетта, фрактал Барнсли и DLA, Зурек, правило Хебба, GFlowNets как политика и прочие.

Междисциплинарность.

В 1876 году Питер Гатри Тейт предложил измерять то, что он называл «запутанностью» узлов. Шотландский математик, во многом предвосхитивший современную теорию узлов, искал практический способ отличать один узел от другого — задача, мягко говоря, непростая. 

Тейт предложил такой критерий различия. Разложим узел на плоскости и посмотрим на точки самопересечения. В одной из таких точек «перевернём» пересечение: мысленно разрежем, поменяем местами верхнюю и нижнюю нити и снова «склеим». Повторяя операцию столько раз, сколько нужно, можно получить незавязанный круг. Минимальное число таких «переворотов» он назвал мерой незавязанности — сегодня это известно как число развязывания узла.

Обычно в учебных курсах по нерелятивистской квантовой механике формализм для описания спинового углового момента сразу дается в готовом виде без каких‑либо удовлетворительных объяснений. Подходить к лекторам с вопросами об этом, как правило, тоже бесполезно — вразумительного ответа не получить, так как большинство физиков не знают ответа на этот вопрос. Вам будут говорить что угодно, но не точный ответ на вопрос.

В учебниках аналогично — в лучшем случае вам сначала расскажут что‑нибудь про свойства спиноров и про матрицы Паули, а потом будет разрыв в переходе к конечным формулам.

Я решил написать статью, которая закроет этот разрыв. Вдохновила меня на это другая статья на Хабре «О спинорах человеческим языком», в которой, к сожалению, этот переход к физике хотя и был начат, но тоже так и не был осуществлен. От этой статьи переход можно сделать быстро (поэтому рекомендуется начать с нее).

Группа российских ученых из МФТИ, Сколтеха и Научно-исследовательского центра искусственного интеллекта Университета Иннополис разработала революционный алгоритм для решения сложной задачи децентрализованной оптимизации. Результаты исследования опубликованы в материалах конференции NeurIPS 2024.

До сих пор в научной литературе отсутствовали оптимальные алгоритмы, а также теоретические оценки минимального количества коммуникаций и вычислений, необходимых для решения задачи децентрализованной оптимизации для негладких функций в динамических сетях.

Сейчас на небе только и разговоров, что о вайб-кодинге. А я, к своему стыду, даже парный никогда не пробовал. На разных местах подходил к руководству с предложениями потестировать методику, но ответом были неизменные шуточки за триста. Мол, конечно-конечно. Вам, сэр, на время Ваших чудачеств рабочее время удвоить или зарплату уполовинить? Но счастлив тот, кто может укрыться от подобного мрака в уютной и светлой внутренней мастерской своего инженерного гения.

Рассматривается алгоритм вычисления обратного целого числа и его приложение для деления целых чисел, представленных high и low половинками, для которых уже реализована базовая арифметика.

Команда российских ученых, работающих в МФТИ, Иннополисе и Сколково, совершила научный прорыв в области генеративного моделирования — создании новых изображений, похожих на настоящие фотографии или рисунки. Они разработали новый метод, который значительно ускоряет и упрощает процесс генерации в теории и на практике. Их результаты опубликованы в материалах конференции NeurIPS 2024.

 В ранних моделях, основанных на сопоставлении потоков, «река» часто имела извилистые русла, а «путешествие» частиц было долгим и сложным. Это приводило к замедлению процесса генерации новых данных. Поэтому ученые искали способы сделать траектории потока максимально прямыми.

Существующие подходы к выпрямлению траекторий имели свои недостатки. Некоторые методы были итеративными, то есть многократно повторяли процесс улучшения «прямоты», накапливая при этом ошибки. Другие методы основывались на упрощенных приближениях, которые не гарантировали нужного результата.

Новый метод оптимального сопоставления потоков, представленный на конференции NeurIPS 2024, решает эти проблемы. 

Прошлой зимой на встрече в финской глуши высоко за Полярным кругом собралась группа математиков, чтобы поразмышлять о судьбе математической вселенной. 

Было минус 20 градусов по Цельсию, и пока некоторые катались на лыжах, Хуан Агилера, специалист по теории множеств из Венского технического университета, предпочитал задерживаться в столовой, отрывая кусочки пуллы (традиционного финского сладкого хлеба) и обсуждая природу двух новых понятий бесконечности. Результаты, по мнению Агилеры, были грандиозными. «Мы просто пока не в состоянии их оценить», — сказал он. 

Бесконечность, как ни странно, существует во многих формах и размерах. Это известно с 1870-х годов, когда немецкий математик Георг Кантор доказал, что множество действительных чисел (всех чисел на числовой прямой) больше множества целых чисел, хотя оба множества бесконечны. (Коротко говоря: как бы вы ни пытались сопоставить действительные числа с целыми, вы всегда получите больше действительных чисел.) Эти два множества, утверждал Кантор, представляют собой совершенно разные типы бесконечности и, следовательно, обладают совершенно разными свойствами. 

Как работает хэш-функция? На вход подаются произвольные данные — слово, веб-сайт, файл или ДНК человека — а на выходе получаем 16-теричное число (hex). Очень удобно, чтобы стандартизировать различные объекты, присвоить им уникальные ID, цифровые отпечатки.

К сожалению, отпечатки иногда получаются одинаковыми — происходят коллизии.

Коллизии хэш-функций похожи на парадокс дней рождения, который недавно вызвал бурные дебаты на Хабре и на HN. Почему люди так горячо спорят? Наверное, потому что человеческая интуиция иногда не совпадает с математическими формулами. Другими словами, язык математики ≠ человеческому.

Интересно сравнить разные хэш-функции с математической точки зрения. Насколько часто встречаются «парадоксы»?

Предложу сегодня подход и буду признателен, если специалисты его дополнят.

Выведу по шагам, как матрица кодирует параллелограмм на вещественной плоскости и как один параллелограмм преобразовывает второй параллелограмм. Лирику вообще не пишу. Для общего образования статья тоже может быть полезна, если вы интересуетесь математикой.

Представление этого инструментария на плоскости сделает проще изучение его же в 3D. А если надо просто ознакомиться, то пробегитесь по картинкам с пояснениями, не открывая подкаты.

Обозначения и названия введу постепенно: от простого, с первого курса, к математическому сленгу. 3D не рассматриваю, это понимания сути не добавит. Но ключевой тезис по 3D — в конце шестой части.

Как следует отображать на экране результат деления 3.0 на 10.0 ? Сколько цифр следует вывести, если пользователь не указал точность?

Скорее всего, вы даже не знали, что вывод на экран чисел с плавающей запятой — это сложная проблема, настолько сложная, что по ней написаны десятки научных статей, причём последний прорыв был относительно недавно, в 2016 году. На самом деле, это одна из самых сложных частей поддержки чисел с плавающей запятой в среде выполнения языка.

Давайте продолжим разговор о самой неоптимизированной в мире библиотеке эмуляции плавающей точки при помощи целочисленной арифметики.

Это вторая статья из цикла «Санпросвет о плавающей точке»:

1. Компьютеры и числа

2. Вывод чисел с плавающей точкой на экран <- вы тут

Приготовьтесь. Это не просто конспект. Это исчерпывающий путеводитель по миру матриц, созданный с одной целью: сделать эту фундаментальную область высшей математики абсолютно понятной, систематизированной и полной. От самых азов до продвинутых концепций, используемых в науке о данных и квантовой физике.

Выпуск 445

Обзор arxiv:2506.20436 Нуклеосинтез и химическое обогащение галактик (Nucleosynthesis and the chemical enrichment of galaxies)Authors: Chiaki KobayashiComments: 34 pages, 29 figures/videos. This is a pre-print of a book chapter for the Encyclopedia of Astrophysics (edited by I. Mandel, section editor F.R.N. Schneider) to be published by Elsevier as a Reference Module 

Большой обзор по химической эволюции галактик. Рассмотрен вклад разных механизмов обогащения межзвездной среды тяжелыми элементами (сверхновые разных типов, проэволюционировавшие звезды, слияния нейтронных звезд и т. д.). Разве что нет свежей идеи о синтезе элементов при вспышках магнитаров. 

Много полезных рисунков. Очень хорошо для использования в разных лекциях.

Здравствуйте, уважаемые читатели Хабра!

Представьте себе мир, где каждое ваше слово, каждая мысль — открытая книга. Жутковато, правда? На протяжении веков человечество стремилось сохранить свои тайны, и криптография всегда была тем мощным инструментом, что помогал это делать.

Сегодня мы, команда проекта Большой математической мастерской (БММ) — уникального образовательного события, где школьники, студенты и педагоги работают над общими проектами — хотим поделиться нашим погружением в этот увлекательный мир. Мы не профессиональные криптографы, но наш проект «Как превратить математику в игру с шифрами» доказывает: математика — это не только «сухая наука», но и захватывающая игра, особенно когда дело касается шифров и секретных сообщений.

В рамках этого проекта мы создаем сборник криптографических задач для научно‑популярной книги, ориентированной на школьников 8–11 классов. Наш подход на БММ основан на непрерывном обучении, умении задавать правильные вопросы и создавать работающие, интересные решения, опираясь на авторитетные источники и консультации специалистов. Именно этим мы и занимались, исследуя мир шифров.

Мы надеемся, что статья будет интересна не только тем, кто уже знаком с криптографией, но и преподавателям, методистам, а также просто любопытным читателям, которые хотят взглянуть на математику под другим углом.

Стратифицированная система без нуля представляет собой иерархическую конструкцию формальных языков, построенную на принципе постепенного введения абстракций без использования нулевых элементов на начальных уровнях. Данный подход решает фундаментальную проблему дуализма нуля в основаниях математики и обеспечивает концептуальную чистоту формальных систем.

Мы привыкли воспринимать время и пространство как данность. Фазовый формализм униметрии предлагает посмотреть иначе: время и пространство — это производные от единого параметра, который мы называем фазой.

В этой концепции релятивистские эффекты — замедление времени, доплеровский сдвиг и т.д. — возникают как естественные проявления движения потоков в фазовом пространстве. Формализм не вводит новые законы физики, он лишь предлагает удобный язык и инструмент для их описания. Подобно лагранжевому и гамильтоновому подходу в классической механике, это попытка упростить структуру уже известных зависимостей и сделать явными причинно-следственные связи.