Математика *

Дискретные дифференциальные операторы лежат в основе математического моделирования и обработки данных. В частности, они используются при обработке временных рядов и изображений, в компьютерной графике и симуляциях физических процессов и т.д. В статье последовательно разворачивается дискретизация дифференциальных операторов: производные, градиент, дивергенция и лапласиан. В каждом случае приводится ядро для вычисления при помощи кросс-корреляции. В статье также кратко раскрывается суть кросс-корреляции. Данная операция, помимо всего прочего, лежит в основе свёрточных нейронных сетей. Для демонстрации практического применения приводится моделирование диффузии клеточным автоматом на основе классического уравнения диффузии.

Команда исследователей из Сколтеха, МФТИ, Института искусственного интеллекта AIRI и других научных центров разработала метод, позволяющий не просто отличать тексты, написанные человеком, от сгенерированных нейросетью, но и понимать, по каким именно признакам классификатор принимает решение о том, является ли текст генерацией или нет.  Анализируя внутренние состояния глубоких слоев языковой модели, ученые смогли выделить и интерпретировать численные признаки, отвечающие за стилистику, сложность и «степень уверенности» текста. Работа принята на конференцию Findings of ACL 2025 и опубликована в виде препринта на портале arXiv. 

Психоаналитикс – одна из интересных головоломок игры Puzzle Hunt Мельбурнского университета 2013 года. Сюжет игры в том году был основан на персонажах комиксов про Астерикса и Обеликса, а каждая ее головоломка была связана с одним из жителей деревни галлов или одним из римлян. Психоаналитикс – один из жителей деревни. Его головоломка была частью пятого акта игры. Ей предшествовало изображение этого персонажа, а также его краткое описание: «Друид-первопроходец Психоаналитикс пришел к выводу, что именно взаимодействие между левым и правым полушариями мозга играет ключевую роль в формировании мыслей».

Международная группа физиков-теоретиков из Китая и России предложила и детально смоделировала новый способ управления экзотическими квантовыми объектами — «вихревыми молекулами». Эти устойчивые, вращающиеся пары или группы квантовых вихрей удалось сформировать в уникальной среде, известной как экситон-поляритонный конденсат.

Краткое введение в графы: их устройство, основные типы и способы хранения в программе. Всё изложено просто и по делу — для тех, кто хочет быстро разобраться в теме.

Коллектив ученых из МФТИ и НИИ системных исследований РАН разработал и успешно протестировал новый гибридный вычислительный метод для моделирования распространения сейсмических волн в геологических структурах со сложной, произвольно искривленной формой.

Определение веса самосвала в движении нетривиальная задача, в которой технические ограничения, тип подвески, принцип действия датчиков и качество телематической цепочки играют ключевую роль. Датчики нагрузки фиксируют показатели с высоким уровнем шума: дорожные неровности, динамика подвески и особенности конструкции кузова приводят к тому, что каждое измерение — лишь приближение к реальному весу. Для корректного расчёта требуется система, которая не только усредняет данные, но и адаптируется к качеству входных сигналов. Перед использованием алгоритмов обработки данных необходимо понимать конструкцию техники, доступные методы взвешивания и природу шума, возникающего в процессе измерений.

Три основных типа карьерных самосвалов в России

В российской добывающей отрасли применяются три доминирующих класса машин, каждый из которых имеет собственные особенности измерения веса:

Классические карьерные самосвалы с жёсткой рамой, такие как БелАЗ 7555–7513 и CAT 777–793, оснащаются гидропневматической подвеской с датчиками давления. Эти датчики служат для оценки веса полезной нагрузки через измерение давления в подвеске. Однако их данные сильно зависят от темпа движения и амплитуды раскачки кузова, что создает шумы и неточности при динамическом движении. В качестве инженерного дополнения к измерению веса для таких моделей важно применять алгоритмы фильтрации и компенсации динамических колебаний, а также дополнять данные от датчиков давления весовыми сенсорами, установленными на шасси, для повышения точности оценки нагрузки и снижения влияния факторов движения. Для БелАЗ и CAT, реализованы высокоточные системы взвешивания с погрешностью в диапазоне до ±0,1–1%. Однако, из-за сильных вибраций и динамических пиков в процессе работы, количество данных с аномальными колебаниями составляет примерно 20–35%. Благодаря строгой конструкции и стабильной гидравлической и электронной схемам, такие системы обеспечивают относительно меньшую дисперсию и более предсказуемую точность, особенно при использовании фильтров и компенсационных алгоритмов.

Ученый из Физического института им. П.Н. Лебедева РАН и Московского физико-технического института Сергей Панюков разработал принципиально новый теоретический подход к описанию процесса формирования фибриновой сети — основы кровяного сгустка. Вместо сложных кинетических моделей, требующих множества подгоночных параметров, предложена теория, которая рассматривает полимеризацию фибрина как динамический фазовый переход. Этот подход позволил вывести аналитические формулы, точно предсказывающие, как начальные концентрации ключевых белков крови определяют конечную структуру и свойства тромба.

Продолжаю погружаться в Reinforcement Learning. Здесь продолжение статьи Intro Reinforcement Learning.

Если предыдущая часть помогла вам понять, что такое среда, агент, награды и функции ценности, то здесь мы сделаем шаг дальше: мы переходим к model-free алгоритмам и Deep Reinforcement Learning, где агент учится оптимальной стратегии, не имея прямого доступа к модели среды.

Коллектив российских ученых из МФТИ и НИЦ «Курчатовский институт» провел детальный вибрационный анализ железнодорожных путей в условиях вечной мерзлоты и сделал неожиданное открытие о двойственной природе одного из самых опасных ее проявлений — ледяных линз. С помощью сложного компьютерного моделирования исследователи показали, что ледяная линза, изначально создающая пиковые нагрузки на конструкцию, со временем превращается в стабилизирующий элемент, рассеивающий разрушительную энергию. Этот результат, полученный в рамках госзадания НИЦ «Курчатовский институт», опубликован в Lobachevskii Journal of Mathematics и имеет важное значение для безопасного строительства железных дорог в Арктике.

Освоение Арктики, с ее колоссальными запасами природных ресурсов, немыслимо без надежной транспортной инфраструктуры. Однако ее строительство и эксплуатация в зоне вечной мерзлоты — это постоянная борьба со стихией. Одной из главных проблем является морозное пучение грунта: при промерзании влажной почвы в ней образуются крупные ледяные включения, или линзы. Эти линзы, разрастаясь, неравномерно приподнимают железнодорожную насыпь, деформируют рельсы и создают угрозу безопасности движения.

Когда мы слушаем музыкальное произведение, наши уши заняты вычислениями. Высокие звуки флейты, средние тона скрипки и низкий гул контрабаса наполняют воздух волнами давления различной частоты. Когда объединённая звуковая волна проходит через ушной канал и попадает в спиралеобразную улитку, волоски разной длины резонируют с разными тонами, разделяя беспорядочный сигнал на элементарные звуки.

Математики лишь в 19 веке смогли освоить этот же расчёт.

В начале 19 века французский математик Жан-Батист Жозеф Фурье открыл способ разложения любой функции на набор основных волн, или частот. Сложив эти составляющие частоты, вы получите исходную функцию. Эта техника, сегодня называемая преобразованием Фурье, позволила математику, ранее бывшему ярым сторонником Французской революции, инициировать свою собственную, математическую революцию.

Давайте продолжим обсуждение самой неоптимизированной в мире 32-битной библиотеки для работы с плавающей запятой TinyFloat. Библиотека написана на C++ и намеренно избегает встроенных типов плавающей запятой, полагаясь исключительно на 32-битные целые числа. Цель состоит в том, чтобы сделать код максимально читабельным — без бит-хаков и хитроумных уловок.

Библиотека пишется в рамках борьбы с неграмотностью населения, поэтому, я хочу иметь подробную документацию о том, что происходит «под капотом». Оказалось, что лучший способ документировать код C++ — это полностью переписать его на Python :-)

Тема на сегодня - как работает сложение чисел с плавающей точкой и соответствующие подводные камни. Это третья статья из цикла, первые две читать тут и тут.

 Я знаю, это будет звучать громко и самонадеянно, но все-таки я это скажу: мне кажется, я нашел ключик к проблеме объяснения и конструирования мышления. Нет, это еще не решение всей проблемы, но многообещающая возможность к нему приблизиться. Полгода назад у меня возникла идея, что в основе феномена мышления (даже у «низкоразвитых» животных вроде крабов или мышей) может лежать оперирование особого класса описательной языкоподобной структурой. Я попытался развить этот подход и обнаружил, что он как будто бы позволяет сформулировать много важных философских проблем о мышлении в виде точных математических вопросов. С тех пор мне удалось продвинутся в решении некоторых из них и получить несколько интересных, на мой взгляд, результатов на стыке логики и психологии. Я собираюсь написать серию статей, чтобы поделиться своими находками и привлечь энтузиастов вместе исследовать возможности, которые они открывают. Перед вами первая статья из этой серии.

В теории графов, как и в других разделах математики, есть экстремальные проблемы. Они происходят как из практических задач, так и из эстетических соображений: найти оптимальное значение той или иной величины может быть и на практике необходимо, и просто любопытно. Многие из таких задач можно встретить на олимпиадах, кружках и экзаменах.

Вот подборка задач, предлагавшихся в разные годы в ШАД. Решения этих и других задач ШАД есть в нашем задачнике.

Задача 1. Дан граф без кратных ребер и петель с вершинами. Известно, что у любого ребра хотя бы одним из концов является вершина, из которой выходит не более других ребер. Какое наибольшее количество ребер может быть в этом графе?

Задача 2. (Усиление теоремы Мантеля 8.) В графе вершин и рёбер, . Докажите, что в этом графе найдутся два треугольника с общим ребром.

Задача 3. В стране городов. Некоторые пары городов соединены авиалиниями. Оказалось, что любые города соединены друг с другом не более чем четырьмя авиалиниями. Какое наибольшее количество авиалиний может быть в этой стране?

Задача 4. В графе 40 вершин. Среди любых пяти найдётся одна, соединённая с четырьмя остальными. Какое наименьшее число рёбер в таком графе?

В этой статье мы покажем очень красивое решение следующей задачи теории графов XX столетия. Некоторые задачи из ШАД являются её вариациями или просто близки по духу.

Российские ученые из МФТИ и НИЦ «Курчатовский институт» разработали уникальный программный комплекс, способный решать одну из самых сложных задач современного строительства — определять минимально необходимую прочность материалов для возведения сейсмостойких многоэтажных зданий на свайных фундаментах в суровых условиях Крайнего Севера. Вместо того чтобы методом проб и ошибок проверять готовые проекты, новый подход позволяет точно вычислить требуемые характеристики конструкций еще на этапе проектирования, обеспечивая баланс между безопасностью и экономической эффективностью. Результаты исследования опубликованы в Lobachevskii Journal of Mathematics.

Представьте, что у вас в руках два кубика одинакового размера. Можно ли просверлить в одном кубике отверстие, достаточное для того, чтобы другой кубик прошёл сквозь него?

Возможно, ваш инстинкт подсказывает вам: «Конечно, нет!» Если да, то вы не одиноки. В конце 1600-х годов неизвестный человек заключил пари на эту тему с принцем Рупертом Рейнским. Руперт — племянник Карла I Английского, командовавший роялистскими войсками в Английской гражданской войне — провёл свои последние годы, изучая металлургию и стеклоделие в своей лаборатории в Виндзорском замке.

Руперт выиграл пари. Математик Джон Уоллис, рассказывая эту историю в 1693 году, не уточнил, написал ли Руперт доказательство или проделал отверстие в реальном кубе. Но сам Уоллис математически доказал, что если проделать прямой туннель по одной из внутренних диагоналей куба, его можно сделать достаточно широким, чтобы пропустить другой куб. Ему там будет довольно тесно: если сделать второй куб всего на 4% больше, он уже не пройдёт.

Эта статья — пятая и финальная часть цикла, в котором я последовательно собирал «теорию всего» из квантовой информации и симметрий. В первых четырёх текстах мы прошли путь от линейной квантовой механики и конформных теорий поля до гравитации, голографии, Стандартной модели, чёрных дыр и космологии. Но неизбежный вопрос после всего этого один: какой мир мы вообще описываем?

Здесь я честно ухожу в метафизику, опираясь на уже построенный физический каркас. Сначала объясняю, почему картинка «одна классическая Вселенная + наше неполное знание» не работает: неравенства Белла, отложенный квантовый ластик и запрет клонирования слишком сильно ограничивают возможные модели реальности. Многомировая интерпретация в духе Эверетта оказывается не «фантастикой», а минимально честным способом сохранить унитарность и согласовать всё с экспериментом.

Затем я предлагаю видеть мир как информационный граф: вершины — события, рёбра — причинные связи, глобальное квантовое состояние — распределение амплитуд по всем возможным ветвям этого графа. В такой картине «материя» перестаёт быть фундаментальным кирпичом и становится особым классом устойчивых информационных конфигураций, а пространство-время и геометрия — эффективным описанием крупномасштабной каузальной структуры.

Отдельная глава посвящена роли сознания: не как «магической сущности», а как подсистемы с памятью и моделью мира, которая идёт по одной ветке информационного графа и переживает её как «свою жизнь». В финале я формулирую, что для меня значит «теория всего»: минимальный набор информационных принципов и симметрий, из которого нельзя ничего убрать и нельзя ничего добавить, не сломав согласованность с собой и с экспериментом.

Это не ответ на все вопросы и не попытка навязать веру. Это — честная попытка описать, как выглядит реальность, если всерьёз принять результаты современной квантовой физики, гравитации и голографии, а не прятать их в разрозненных курсах.

Татьяна Кондрикова, руководитель группы C3D Modeler, С3D Labs, рассказывает о новых возможностях геометрического ядра C3D и планах по его дальнейшему совершенствованию.

Обновления в C3D Modeler 2025 охватывают сразу несколько ключевых направлений: каркасное моделирование, оболочки, прямое моделирование, листовое моделирование, а также диагностику и системные улучшения. Одним из значимых нововведений стала операция построения срединной кривой (рис. 1) — множества точек, равноудаленных от двух заданных кривых. Эта операция применяется к двум кривым на плоскости, которые могут быть замкнутыми или разомкнутыми и состоять из стыкованных по касательной сегментов без самопересечений. Результат представлен в виде NURBS-кривой.

Всем привет! Меня зовут Саша, работаю ведущим аналитиком в Озон Банке. По мотивам доклада на онлайн-дне МатеМаркетинга'25 было решено написать данную статью, пересказывающую основные идеи доклада о семплировании Томпсона.

Представьте: вы гуляете по ночному парку с прекрасной девушкой после романтического вечера в ресторане. Тут перед вами открывается полянка, а над ней — летнее небо, полное звезд. Вы невзначай говорите: “о, смотри, сейчас Плеяды особенно яркие”! Показываете на небо, девушка прижимается к вам поближе, чтобы разглядеть, куда же вы показываете, и…Ну дальше все в ваших руках. А вот не знали бы, где Плеяды — и все, так и пошли бы грустно по домам. В этом посте расскажу, как научиться различать созвездия, что можно наблюдать невооруженным взглядом, как выбрать первые девайсы и всякое такое.

Для тех, кто хочет подходить к вопросу подготовленным, порекомендую свой текст про небесную сферу: в нем мы рассказываем, как устроены небесные координаты, как пользоваться картами звездного, какие бывают телескопы и всякое прочее полезное. Материал рассчитан на школьников и учителей, так что там все очень доступно :)

В этом же посте пройдемся по самой-самой базе, чтобы гарантированно впечатлять друзей и кайфануть самому.