Математика *

Привет, Хабр! Представляю вашему вниманию перевод статьи "The Surprisingly Solid Mathematical Case of the Tin Foil Hat Gun Prepper" автора BJ Campbell.

«Всего лишь девять приемов пищи отделяют человечество от анархии», – Альфред Генри Льюис, 1906 год.

Представьте, что вас окружает бесконечно высокая стена, а о том, что находится за стеной абсолютно ничего неизвестно. Теперь представьте, что олицетворением данной стены является вот это уравнение:



Эту метафору будет проще понять, если провести аналогию с черной дырой: мы не знаем, что находится под ее горизонтом событий, и чтобы это узнать нам нужно придумать способ, как туда добраться. Нечто подобное существует в мире математики. Данное уравнение — это настоящая «формула» простого числа, но чтобы ею пользоваться, нам нужно придумать, как искать подходящие {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, w, v, x, y, z}.

Черная дыра и данное уравнение — это предельные состояния чего-то реального и абстрактного. И, если о первом существует достаточно догадок и представлений, то о втором, практически ничего не известно. Но, что если это действительно «математическая» черная дыра? Разве вам не интересно что может произойти, если мы попадем под горизонт?

Задача головоломки «пятнашки» — упорядочить пронумерованные плитки. Сегодня математики решили обратную задачу — как перепутать головоломку.

Вероятно, вы играли в «пятнашки». Это расстраивающая, но аддиктивная игра, состоящая из 15 плиток и одного пустого пространства, выстроенных в сетку 4 на 4. Задача заключается в перемещении плиток и выстраивании их в порядке возрастания чисел или, в некоторых версиях, сборке из них изображения.

После своего появления в 1870-х годов она вошла в стандартный набор игр. Кроме того, она привлекла внимание математиков, которые больше века изучали решения головоломок различного размера и начальных конфигураций.

Сегодня появилось новое доказательство решения «игры в 15», но в обратном порядке. Математики Юн Чу и Роберт Хоу из Университета Стони Брук определили количество ходов, необходимое для превращения упорядоченного поля в случайное.

Новая работа над задачей о «равносоставленности» объясняет, когда имеется возможность разрезать одну фигуру и собрать из неё другую

Если у вас есть две плоские фигуры из бумаги и ножницы, можете ли вы разрезать одну фигуру и переставить кусочки так, чтобы получить другую? Если можете, тогда две эти фигуры «ножнично конгруэнтны» [равносоставлены].

Однако математиков интересует, можно ли обнаружить такое взаимоотношение у фигур, не используя ножницы? Иначе говоря, есть ли у этих фигур такие характеристики, которые можно было бы измерить заранее и определить, конгруэнтны ли они?

Для двумерных фигур ответ прост. Нужно просто измерить их площади; если они совпадают, то фигуры ножнично конгруэнтны.

В скелете взрослого человека насчитывается 206 костей, которые в совокупности выполняют опорно-двигательную и защитную функцию. К сожалению, как и все другие части тела человека, кости также подвержены различным заболеваниям, повреждениям, деформациям и травмам. Одной из самых изучаемых проблем скелета является остеопороз, из-за которого нарушается внутренняя структура и плотность костей. Ранее данное заболевание изучали посредством рентгеновских снимков, позволяющих изучить структуру костей и определить слабые и прочные точки. Чаще всего ученые рассматривали прочность кости с точки зрения максимально возможной однократной нагрузки. Однако группа исследователей из Корнеллского университета решили посмотреть на проблему остеопороза под другим углом. Они предложили сравнить кость с деталью автомобиля, которая прекрасно работает достаточно долгое время, но, так или иначе, ломается ввиду длительного использованиям. Что рассказал ученым новый метод анализа костей, какие структурные изменения костей можно предотвратить или изменить, и как данный труд может способствовать в борьбе с остеопорозом и даже помочь авиации? Об этом мы узнаем из доклада исследовательской группы. Поехали.

В современном мире сложно представить развитие продукта без A/B-тестирования. Чтобы успешно запустить продукт или новую функциональность — надо грамотно спроектировать A/B, рассчитать и интерпретировать его результаты. Иногда нам требуется тестирование более чем для двух групп. В этой статье мы рассмотрим как раз такой случай — множественное тестирование:

• поговорим о том, когда и зачем следует проводить множественные тесты;
• рассмотрим основные методы расчёта результатов тестов и математические принципы, на которых основаны методы;
• приведём примеры программной реализации методов; эти примеры вы сможете использовать в своих проектах.

Итак, приступим.

Продолжаю публикацию своих лекций, изначально предназначенных для студентов, учащихся по специальности «цифровая геология». На хабре это уже третья публикация из цикла, первая статья была вводной, она необязательна к прочтению. Однако же для понимания этой статьи необходимо прочитать введение в системы линейных уравнений даже в том случае, если вы знаете, что это такое, так как я буду много ссылаться на примеры из этого введения.

Итак, задача на сегодня: научиться простейшей обработке геометрии, чтобы, например, суметь преобразовать мою голову в истукана с острова Пасхи:

Серьёзный прорыв в деле решения гипотезы 60-летней давности проливает свет на то, как при росте случайных систем в них начинает появляться порядок

Команда из математиков и специалистов по информатике, наконец, продемонстрировала прогресс в решении, на первый взгляд, простой задачи, терзавшей исследователей почти шесть десятилетий.

Эта задача, поставленная математиками Палом Эрдёшем и Ричардом Радо в 1960-м, касается того, как часто можно ожидать появления узоров, напоминающих подсолнух, в больших наборах объектах – например, в большом количестве точек, рассыпанном на плоскости. И хотя новый результат не решает гипотезу Эрдёша и Радо полностью, он продвигает понимание математиков в вопросе появления удивительно сложных структур в случайных скоплениях. Для этого в работе задачу переформулировали в терминах компьютерной функции, воспользовавшись преимуществами становящейся всё более тесной взаимосвязи между теоретической информатикой и чистой математикой.

«Думаю, я смело могу сказать, что квантовую механику никто не понимает», — Ричард Фейнман

Тема квантовых вычислений всегда привлекала технических писателей и журналистов. Ее потенциал в области вычислений и сложность придали ей некий мистический ореол. Слишком уж часто тематические статьи и инфографика подробно описывают всевозможные перспективы этой отрасли, при этом едва затрагивая вопросы ее практического применения: это может ввести в заблуждение не слишком внимательного читателя.

Две монументальных работы убедили многих математиков отказаться от знака равенства. Их цель – реконструировать основы дисциплины при помощи более слабого взаимоотношения – «эквивалентности». И этот процесс не всегда идёт гладко.

Знак равенства – краеугольный камень математики. Он, кажется, делает фундаментальное и непротиворечивое заявление: две этих сущности абсолютно одинаковы.

Однако ширится круг математиков, относящихся к знаку равенства, как к первоначальной ошибке математики. Они считают его внешним лоском, прячущим важные сложности взаимоотношения величин – сложности, способные открыть решения огромного количества задач. Они хотят реформировать математику, используя более свободный язык эквивалентности.

«Мы породили эту идею равенства, — сказал Джонатан Кэмпбелл из Университета Дьюка. – А на её месте должна была быть эквивалентность».

Недавно я вернулся к анализу погрешностей чисел с плавающей запятой, чтобы усовершенствовать некоторые детали в следующей редакции книги Physically Based Rendering. Числа с плавающей запятой — интересная область вычислений, полная сюрпризов (хороших и плохих), а также хитрых трюков, позволяющих избавиться от неприятных неожиданностей.

В процессе работы я наткнулся на этот пост на StackOverflow, из которого узнал об изящном алгоритме точного вычисления $$.

Но прежде чем приступать к алгоритму, нужно понять, что же такого хитрого в выражении $$? Возьмём $$, $$, $$ и $$. (Это реальные значения, которые получились у меня во время запуска pbrt.) При 32-битных значениях float получаем: $$ и $$. Выполняем вычитание, и получаем $$. Но если выполнить вычисления с двойной точностью, а в конце преобразовать их во float, то получится $$. Что произошло?

Проблема в том, что значение каждого произведения может сильно выйти за нижнюю границу $$, где расстояние между представимыми значениями с плавающей запятой очень велико — 64. То есть при округлении $$ и $$ по отдельности до ближайшего представимого float, они превращаются в числа, кратные 64. В свою очередь, их разность будет кратной 64, и не останется никакой надежды, что она станет к $$ ближе, чем $$. В нашем случае результат оказался ещё дальше из-за того, как два произведения были округлены в $$. Мы напрямую столкнёмся со старым добрым катастрофическим сокращением¹.

Скачать файл с кодом и данные можно в оригинале поста в моем блоге

В языке Wolfram Language есть четыре совершенно потрясающие функции: FindSequenceFunction, RSolve, DifferenceRootReduce и FindFormula. В этой статье мы обсудим их возможности и поговорим о функциях, тесно с ними связанных — для поиска параметров линейной рекурсии FindLinearRecurrence (коэффициентов линейного рекуррентного уравнения), производящих функциях GeneratingFunction и Z-преобразовании ZTransform.

Первая функция — FindSequenceFunction — по последовательности чисел ищет выражение для её n-го члена не требуя вообще ничего более.

Hold @ FindSequenceFunction[{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13}, n]

FindSequenceFunction[
{-2, 4Sqrt[Pi],
-16, 16Sqrt[Pi],
-128/3, 32Sqrt[Pi],
-1024/15, 128Sqrt[Pi]/3,
-8192/105, 128Sqrt[Pi]/3},
n]

Гипотеза о простых числах-близнецах – один из самых важных и сложных вопросов математики. Двое математиков решили параллельную версию этой задачи для небольших числовых систем.

7 сентября два математика опубликовали доказательство варианта одной из известнейших открытых задач математики. Полученный результат открывает новый фронт в изучении гипотезы о простых числах-близнецах, терзающей математиков вот уже более ста лет, и связанной с некоторыми из глубочайших свойств арифметики.

«Мы давно уже буксовали и у нас заканчивались идеи по этой задаче, поэтому естественный восторг вызывает появление у кого-либо новых идей», — сказал Джеймс Майнард, математик из Оксфорда.

Привет, Хабр! Представляю вашему вниманию перевод статьи «An intuitive explanation of Hypothesis Testing and P-Values» автора Joos Korstanje.

Несколько лет назад я делал свою первую фриланс-работу по статистике для компании по доставке фруктов и овощей. Двадцать четыре часа в день поступающие продукты от фермеров до того, как были отправлены в супермаркеты, проходили через отдел по контролю за качеством. Выбор продуктов осуществлялся случайно работниками данного отдела.

В годовом отчёте они заметили, что качество в этом году ниже, чем качество в прошлом: разница составила примерно половину пункта по шкале от 1 до 10.

Потом пригласили меня. Я должен был ответить на вопрос:

Одна из самых труднорешаемых задач в системах автоматизированного проектирования – скругления при моделировании объектов сложных форм. За построение скруглений, как и за всю геометрию в САПР, отвечает геометрическое ядро.

С точки зрения разработчика ядра охватить все варианты скруглений невозможно ввиду их бесконечного разнообразия. Наши математики постоянно добавляют в ядро C3D новые частные случаи, а недавно сделали скругление трех граней (или полное скругление).

В чем его сложность и как работает алгоритм, рассказывает Анна Ладилова, математик-программист C3D Labs.

Пара предупреждений читателю:

Для того, чтобы (насколько это возможно) упростить процесс объяснения и сжать объем публикации, стоит сразу же сделать ключевую оговорку — все, что мы пишем, касаемо практической стороны рассматриваемой проблематики, корректно для протокола TLS версии 1.3. Это значит, что хотя ваш ECDSA сертификат и будет, при желании, работать с TLS 1.2, описание процесса хендшейка, наборов шифров и бенчмарков сделано на основании последней версии протокола TLS — 1.3. Как вы понимаете, это не относится к математическому описанию алгоритмов, лежащих в фундаменте современных криптографических систем.

Данный материал был написан не математиком и даже не инженером — хотя они и помогали проложить дорожку сквозь математические дебри. Огромная благодарность сотрудникам Qrator Labs.

(Elliptic Curve) Diffie-Hellman (Ephemeral)

Наследие Диффи — Хеллмана в XXI веке

Естественным образом, данная тема начинается не с Уитфилда Диффи и не с Мартина Хеллмана. Алан Тьюринг и Клод Шеннон сделали огромный вклад в теорию алгоритмов и теорию информации, равно как и в область криптоанализа. Диффи и Хеллман, в свою очередь, официально признаются авторами идеи криптографии с публичным ключом (также называемой асимметричной) — хотя теперь известно, что в Великобритании были также достигнуты серьезные результаты в этой области. Однако они оставались засекреченными длительное время — что делает двух джентльменов, упомянутых в подзаголовке, первопроходцами.

В чем именно?

Зачем

О ситуации с котом Шредингера, наверно, имеет представление большинство хабровцев, интересующихся физикой. Поэтому я не буду ее излагать. Дискуссия ведется вокруг интерпретации состояния кота. Вот альтернативы:

1. Кот “И жив И мертв”. Это описывается в квантовой механике как суперпозиция состояний “жив” и “мертв” и, значит, возможны какие-то интерференционные эффекты, подобно случаю рассеяния света на двух щелях.
2. Кот “ИЛИ жив ИЛИ мертв”. Эта трактовка запрещает вышеуказанную суперпозицию и, значит, запрещает интерференционные эффекты.

Моя задача изложить точку зрения, вытекающую, как мне кажется, из чтения книги “Квантовая механика” Фейнмана.

В России одна известная организация под названием ВЦИОМ проводила социологическое исследование, на котором гражданам предлагали ответить на вопрос: «Согласны ли вы со следующим утверждением: Солнце вращается вокруг Земли?» Данные этого опроса многократно перепечатываются в СМИ, и на различных сетевых ресурсах в комментариях часто ссылаются на него при обсуждении различных общественно-политических проблем.

Если бы я принял участие в этом опросе, я бы, скорее всего, был среди тех 30%, кто ответил утвердительно. Ниже я постараюсь объяснить, почему.

Оригинал перевода в моём блоге

Как ко мне попала эта книга?

В мае 2017 года я получил электронное письмо от моего старого учителя средней школы по имени Джордж Раттер, в котором он писал: «У меня есть копия большой книги Дирака на немецком языке (Die Prinzipien der Quantenmechanik), которая принадлежала Алану Тьюрингу, и после того как я прочел вашу книгу Создатели идей (Idea Makers), мне показалось само собой разумеющимся, что вы именно тот человек, которому она нужна». Он объяснил мне, что получил книгу от другого (к тому времени умершего) моего школьного учителя Нормана Рутледжа, о котором я знал, что он был другом Алана Тьюринга. Джордж закончил свое письмо фразой: «Если вам нужна эта книга, я мог бы вручить ее вам в следующий раз, когда вы приедете в Англию».

Спустя пару лет в марте 2019 года я действительно прибыл в Англию, после чего договорился с Джорджем о встрече за завтраком в небольшом отеле в Оксфорде. Мы ели, болтали и ждали, пока еда уляжется. Затем настал подходящий момент для обсуждения книги. Джордж сунул руку в портфель и вытащил довольно скромно оформленный, типичный академический томик середины 1900-х годов.



Я открыл обложку, размышляя, не может ли на ней быть с обратной стороны надписи: «Собственность Алана Тьюринга» или чего-то в этом духе. Но, к сожалению, это оказалось не так. Тем не менее к ней была приложена достаточно выразительная записка на четырех листах от Нормана Рутледжа к Джорджу Раттеру, написанная в 2002 году.

Я знал Нормана Рутледжа, когда еще был учеником средней школы в Итоне в начале 1970-х годов. Он был учителем математики по прозвищу «Чокнутый Норман». Он был приятным во всех отношениях преподавателем и рассказывал бесконечные байки о математике и о всяких других занимательных вещах. Он был ответственным за то, чтобы школа получила компьютер (программируемый с помощью перфоленты шириной с парту) — это был самый первый компьютер, который я когда-либо использовал.

В девятом и десятом классах средней школы я выписывал журнал "Квант", решал задания вступительных экзаменов в ведущие вузы, а иногда и задачи из "Задачника Кванта". Помню, как-то я отправил в редакцию журнала письмо с решением такой задачки, вложив в него конверт с обратным адресом, и получил разбор решения от члена редколлегии Н. Я. Виленкина.

Мне нравился стиль статей и иллюстраций старых номеров журналов, и хоть я не художник и не аниматор, а любитель-программист, лет десять назад я попробовал сделать схематический мультик о необыкновенной девочке по загадке из раздела "Квант для младших школьников":