Математика *

Mr. Game & Watch — одна из интересных головоломок игры Puzzle Hunt Мельбурнского университета 2011 года. Эта игра представляет собой ежегодный квест, цель которого — первыми обнаружить «сокровища», спрятанные где‑то на территории кампуса. Задания игры не содержат инструкций. Вместо этого участникам дается сюжет, который постепенно развивается, и в который встраиваются головоломки.

Головоломка представляет собой большое количество однотипных часов: всего их 24, и они аккуратно расположены на странице в 6 рядов и 4 столбца. На всех часах можно видеть циферблат с 12 римскими цифрами; расположение часовой стрелки и минутной стрелки; время суток (AM или PM); а также угол в градусах, который представляет собой разность между положением стрелок...

Вы когда-нибудь задумывались, почему в компьютерных играх объекты иногда проваливаются сквозь текстуры? Или почему финансовые модели так сложны, когда пытаются предсказать курс акций, который кажется то плавным, то скачущим? В основе этих, казалось бы, разных проблем лежит одна и та же фундаментальная идея, над которой бились величайшие умы человечества более двух тысяч лет.

Идея непрерывности.

Это не просто заумный термин из учебников. Это история о том, как мы пытались соединить мир счётных, отдельных предметов с миром плавного, неделимого движения. Это история о схватке с бесконечностью. Я хочу рассказать её так, как мне не рассказывали в университете: без кванторов и дельт, через парадоксы и гениальные озарения, и при этом без малейшей потери математической строгости. Мы пройдём путь от Аристотеля до создателей матанализа и увидим, как одна красивая идея сформировала наш мир.

Также вы сегодня, возможно, впервые узнаете о том, что победа формализации анализа по Коши вместо альтернативной по Гейне является самой главной причиной того, что понятия и идеи математического анализа остаются непонятными для основной массы студентов. От наглядного и понятного языка, предложенного Гейне, для которого совершенно не нужно использовать эпсилоны и дельты, в учебнике осталось только определение предела по Гейне — и то только потому. что некоторые теоремы без него никак не доказать. Но что еще интереснее — определение предела по Коши вообще не нужно для доказательств!

Прочитав эту статью, вы сможете без особых усилий предельно ясно осознать примерно половину первого семестра университетского курса математического анализа, причем, возможно, даже глубже, чем многие лекторы по математическому анализу.

Приготовьтесь к разоблачению, возможно, самого крупного обмана в современном высшем образовании. Суть его проста: по своей природе математический анализ — это наглядная геометрия, но её маскируют под абстрактную алгебру. В результате этого фокуса простой и ясный предмет становится тёмным лесом даже для многих лекторов.

У многих видов на Земле самки и самцы имеют ряд отличий, не касающихся репродуктивной системы. Поведение, внешний вид, гастрономические предпочтения — все эти элементы жизни особи могут отличаться в зависимости от пола. Продолжительность жизни также отличается, порой весьма существенно. Ученые из Института эволюционной антропологии Общества Макса Планка (Лейпциг, Германия) провели обширное межвидовое исследование млекопитающих и птиц, чтобы установить, является ли отличие в продолжительности жизни между полами результатом внешних и/или поведенческих факторов, или же это эволюционный механизм. Что им удалось установить мы узнаем из доклада ученых.

Рассмотрим структуру простых чисел, их симметрию и введем новые определения. Применяя симметрию рассмотрим способ поиска простых чисел, задачу бесконечности близнецов и гипотезу Гольдбаха.

Коллектив ученых из Московского физико-технического института (МФТИ) разработал и теоретически обосновал два новых подхода к решению одной из фундаментальных проблем машинного обучения: определению достаточного размера выборки. Их работа, опубликованная в Computational Management Science, предлагает измерять, насколько «уверенность» модели в своих параметрах меняется при добавлении или удалении всего одного элемента данных, используя для этого два различных математических инструмента. 

Современные большие языковые модели, такие как GPT-5, продемонстрировали свою способность генерировать высококачественные текстовые ответы на широкий спектр запросов, что делает их ценными инструментами в различных сферах, однако, остро встает вопрос о надежности их выводов, так как многие пользователи склонны воспринимать сгенерированные результаты за истину подвергая сомнениям свои рассуждения, а не ответы нейросетей. В статье рассматривается пример того, как легко нейросети могут ввести человека в заблуждение на примере решения оптимизационной задачи о назначениях.

Ученые из МФТИ и Национального исследовательского центра «Курчатовский институт» разработали теорию, позволяющую с беспрецедентной точностью описывать поведение сложных многоатомных молекул в сверхсильных электрических полях. Их работа, опубликованная в журнале Physical Review A, дает возможность создания новых методов для изучения структуры молекул, включая биомолекулы, и даже для различения их «зеркальных» форм, что критически важно для фармацевтики.

В 1996 году испанский физик Хуан Паррондо сделал невероятное открытие: иногда две игры, каждая из которых отдельно заканчивается проигрышем, можно объединить в выигрышную стратегию. Этот парадокс — не просто математический курьёз, он имеет научное значение. Он помогает объяснить разнообразные факты из жизни слизевиков и может способствовать разработке новых стратегий лечения рака.

Коллектив ученых из МФТИ и МГУ провел важное исследование фундаментальных законов природы, значительно расширив возможности одного из самых перспективных инструментов для исследования М-теории – гипотетической «теории всего». Они обобщили математический метод, известный как три-векторные деформации, на полные, без каких-либо упрощений, уравнения 11-мерной супергравитации в рамках Исключительной Теории Поля. Результатом стали явные «рецепты» того, как можно систематически изменять (или «деформировать») геометрию и поля любого известного 11-мерного пространства-времени, чтобы получить новые, ранее неизвестные решения, подчиняющиеся тем же элегантным алгебраическим условиям, что и в более простых случаях. Эта работа, опубликованная в The European Physical Journal C, открывает новые перспективы в понимании структуры М-теории и ее связи с квантовой теорией поля через голографический принцип.

Привет, Хабр!

Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями.

А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременно? Объект, который по своей природе является и скаляром, и вектором, и кватернионом, и даже спинором, в зависимости от того, как на него посмотреть.

Это не фантастика. Это — алгебра Клиффорда, также известная как геометрическая алгебра. Идея настолько мощная, что она способна навсегда изменить ваш взгляд на геометрию в 3D.

Пристегните ремни. Мы отправляемся в путешествие, где абстрактная алгебра превращается в наглядную геометрию. И огромное спасибо @master_program за переработку исходного текста в эту статью, а так же за дополнения и картинки, очень повысившие удобство чтения.

Одна из фундаментальных проблем при создании эффективных моделей машинного обучения – определение необходимого и достаточного количества данных для их обучения. Слишком мало данных – модель будет неточной, слишком много – неоправданные затраты времени и ресурсов на сбор и обработку информации. 

Коллектив ученых из Московского физико-технического института предложил два новых метода для решения этой задачи, основанных на анализе функции правдоподобия с использованием техники бутстрэпа.  Работа опубликована в журнале Computational Mathematics and Mathematical Physics.

Всем привет! На связи Ульяна Айкович и Даниил Гурин, исследователи БКС Мир Инвестиций и БКС Банка. Сегодня мы хотим поделиться результатами нашего небольшого, но довольно смелого эксперимента — попытки предсказать конверсию в прохождение опросов.

Каждый исследователь знает, как трудно удержать внимание респондентов – особенно в опросах. Один лишний вопрос, одна лишняя картинка в анкете или лишняя минута времени для заполнения опроса — и человек закрывает вкладку. А ведь каждый ответ на вес золота. Поэтому мы решили разобраться: что именно определяет, дойдет ли человек до конца опроса или бросит его на полпути? Можем ли мы заранее это предсказать?

В статье более подробно рассказали о первой итерации нашего эксперимента!

Исследователи из МФТИ впервые систематически изучили, как изменяется и стабилизируется процесс обучения нейронных сетей по мере добавления новых данных. Их работа, сочетающая теоретический анализ и обширные эксперименты, показывает, что так называемый «ландшафт функции потерь» нейросети сходится к определенной форме при увеличении размера выборки, что имеет важные последствия для понимания глубинного обучения и разработки методов определения необходимого объема данных. Исследование опубликовано в Doklady Mathematics.

Я расскажу, как продумал и разработал свою продвинутую систему оценки контента, в которой использовалась разная сила голоса, защита от накруток и другие штуки для максимизации количества и продвижения качественного контента на развлекательном сайте.

Всё было сделано на хранимых процедурах MySql и работает как часы без всякого обслуживания уже 14 лет.

Является ли DES группой? В статье [2] было показано, что DES не является группой. Остановимся более подробно на вероятностном тесте MCT(meet-in-the-middle closure test), предложенном в [2] и основанном на атаке meet in the middle, и вычислим вероятность нахождения совпадения.

Идея этого исследования, которое привело к формализации абсолютного конструктивного предела математики, возникла в процессе разработки гугологического фреймворка BeyondNumbers на Python — системы, предназначенной для формального описания и классификации чрезвычайно больших чисел и функций, растущих быстрее всех известных конструктивных процессов.
В ходе этой работы естественно возник вопрос: существует ли предельно большое конечное число (или ординал), которое можно получить, оставаясь в рамках конструктивной математики, например ZFC или аналогичных систем? Что-то вроде конструктивного аналога числа Rayo— но формализуемого в рамках доказуемых систем, например CZF.

На интуитивном уровне кажется, что ответ — нет. Какое бы большое конечное число мы ни зафиксировали, всегда можно прибавить 1, применить новую функцию, ввести новую иерархию. Однако строгое рассмотрение показывает, что это рассуждение применимо лишь к числам, но не к ординалам, описывающим скорость роста функций: для достаточно сложных конструкций операции вроде +1, умножения или возведения в степень перестают менять принципиальный порядок роста. Иными словами, мы можем говорить о предельной скорости роста — не отдельного числа, а конструктивного ординала, который задаёт границу всех конечных процедур в пределах данной теории.

Поставим задачу автоматического подбора весовых коэффициентов вместе с настройкой функции связи обобщенной линейной модели.

Регрессионная модель: .

Неизвестными считаются не только весовые коэффициенты , но и функция .

Мир вокруг нас сложен и удивителен. Все, от величественных гор до мельчайших частиц, подчиняется нерушимым законам природы, в оркестре которой важен каждый участник, но лишь математика, физика и химия могут претендовать на роль первой скрипки. Полагаясь на основы этих наук, можно объяснить практически все объекты, явления и эффекты, наблюдаемые где-либо. Но важным словом в этом вполне утвердительном выражении является «практически». Одной из самых сложных и важных загадок остается происхождение жизни на нашей планете. Самая распространенная теория заключается в спонтанном возникновении. Самой же нестандартной — инопланетяне, но е лучше оставить для Малдера и Скалли. Гипотеза, которая до сих пор претендует на звание верной, гласит, что жизнь в своем первородном виде попала на Землю извне в виде микроорганизмов, а затем начался процесс ее развитии и эволюции уже на планете. Ученые из Имперского колледжа Лондона (Великобритания) разработали математическую модель, которая заставляет усомниться в теории спонтанного возникновения жизни и поверить в панспермию. Как работает данная модель, и каковы ее результаты? Ответы на эти вопросы мы найдем в докладе ученых.

Как говорил Альберт Эйнштейн, «наиболее необъяснимое во Вселенной – это то, что она объяснима». Но что делает Вселенную познаваемой? Почему работает научный метод? Как вообще прямоходящие кожаные мешки с обезьяньим мозгом могут что-либо узнать о физической реальности, если они всю жизнь проводят в виртуальной реальности своего сознания? Ведь всё, что нам известно о мире – продукты нашего разума. Не означает ли это, что мы никогда не сможем узнать, какова реальность на самом деле? Что мы вообще знаем, если Вселенная на 95% состоит из неведомых тёмных субстанций? Откуда мы знаем, что законы физики универсальны и постижимы человеческим разумом? Где гарантия, что законы физики изотропны в пространстве и однородны во времени? Может, они варьируются от места к месту, изменялись в прошлом или изменятся в будущем? Существует ли вычислительно более мощный компьютер, чем машина Тьюринга? Вычислима ли каждая физическая система? Является ли сама Вселенная вычислительной машиной? Каковы фундаментальные физические и логические ограничения на то, что может быть вычислено и постигнуто? Есть ли вычислительный барьер, который невозможно преодолеть, независимо от того, насколько далеко и какими способами развиваются компьютеры? Или новые типы оборудования, основанные на квантовых, релятивистских или квантово-гравитационных явлениях, могут привести к принципиально новым вычислительным парадигмам и сделать невычислимое вычислимым? В этой статье мы погрузимся в глубины теоретической информатики, чтобы выяснить, каковы фундаментальные пределы вычислимости и возможны ли в нашей Вселенной гиперкомпьютеры.

1 августа 2012 года, торговая фирма Knight Capital развернула новую версию торгового ПО SMARS. Из‑за ошибки при развертывании на одном из восьми серверов осталась старая тестовая версия кода, из‑за чего торговый робот начал неконтролируемо рассылать миллионы ошибочных заявок на покупку и продажу акций. Этот процесс длился около 45 минут и привел к убыткам в размере примерно 440 миллионов долларов — почти весь капитал компании.

​Ключевая проблема мониторинга состояла в том, что система PMON (Position Monitor) полностью полагалась на ручной мониторинг: она не генерировала автоматических оповещений и не выделяла превышение лимитов. Трейдеры Knight видели аномальную активность в логах, но не понимали контекст: