Математика *

Парадокс двух детей Вы встретили на прогулке соседей с сыном. Известно, что у них двое детей. Какова вероятность, что второй — тоже мальчик?

Казалось бы, детская задачка, где нужно просто “вспомнить формулу”, но всё не так однозначно. Если задать этот вопрос прохожему, он, скорее всего, скажет ½. Преподаватель математики, возможно, ответит ⅓. Кто из них прав?

В каком-то смысле, правы оба. Просто каждый представляют себе свой способ, как была получена информация о ребёнке. На самом деле это и есть условие задачи. Только скрытое. 

Вопреки распространенному мнению, теория вероятностей не говорит, возможна ли та или иная ситуация. Прежде чем что-то считать, придется подготовить фундамент — идеализировать наблюдение, понять, что именно мы считаем случайным и построить модель эксперимента. Без этого никакие формулы не помогут.

Парадоксы, о которых пойдет речь, — не логические ошибки. Это ситуации, в которых само понятие вероятности начинает колебаться. Они не ломают теорию, но обнажают, где она требует особенной осторожности. Именно в таких местах теория вероятностей становится особенно странной — и особенно интересной.

В этой статье — три таких истории. В первой один и тот же факт даёт разные вероятности, если по-разному устроено наблюдение. Во второй один и тот же объект может быть “случайным” множеством способов. А в третьей невозможно придумать, как сделать задачу математически строгой.

По дороге мы обсудим, что такое вероятностная модель, геометрическая вероятность и математическое ожидание. А в конце поговорим о том, почему в теории вероятностей у одной задачи могут быть несколько ответов и как с этим жить. А еще, вас ждет красивая задача — бонус для тех, кто дочитает статью до конца.

А пока — вернёмся к соседям с мальчиком. Разберемся, почему эта задачка не так проста, как кажется на первый взгляд.

Существует эзотерическое поверье об информационном поле Вселенной, также известном как хроники Акаши – универсальной эфирной библиотеке, где записана вся информация о прошлом, настоящем и будущем, включая судьбу каждого из нас. В этой базе данных хранятся все знания мира – оттуда пророки черпали религиозные откровения, писатели и поэты – литературные шедевры, художники и музыканты – произведения искусства, учёные – научные открытия, а инженеры – технические изобретения. Но вся эта мудрость веков доступна только избранным – тем, кто умеет «настроиться» на нужную частоту и «срезонировать» с полем. Есть даже платные курсы, на которые приглашают всех, кто хочет научиться специальным образом медитировать и подключаться к этому космическому интернету.

Можно сразу отбросить никчёмную аналогию с вибрирующими полями как разновидность псевдонаучной фантастики, но идея универсального архива всех возможных текстов, наглядно представленная Хорхе Луисом Борхесом в рассказе «Вавилонская библиотека», подозрительно напоминает гипотезу цифровой мультивселенной – Конечного ансамбля всех математически возможных миров. А если углубиться в метафизику, мы непременно придём к платоновскому миру идей, в котором все вечные истины и прообразы вещей существуют независимо от нашего желания и веры. Чем тогда ясновидящие хуже математиков, которые верят, что доказательства теорем приходят им свыше? Чем античный миф о мойрах, плетущих нити судьбы, уступает релятивистской теории блок-вселенной, где вся ваша жизнь записана в виде пучка мировых линий? А гипотеза математической Вселенной Макса Тегмарка – разве это не предельный платонизм? Так может, вообще не существует ничего, кроме мира идей, а наша материальная действительность – всего лишь иллюзия? Или нам следует лучше разобраться с тем, как работают поисковые алгоритмы Вавилонской библиотеки?

Тема извлечения квадратного корня стара как этот мир, затертые до дыр подборы ближайших корней и следование различным закономерностям навели меня на мысль что тут явно что‑то не так, любой путь начинается с первого шага, любое число с ноля, проще говоря меня не устраивало тот факт что в извлечении квадратного корня не было этой плавной шкалы сложности, ты просто внезапно оказываешься в пучине поисков ближайших подходящий корней с подстановкой, с поиском закономерностей и кучей различных подсказок вроде того что если число заканчивается на 5 и т. д. Мне захотелось создать такой метод, который был бы лишен всего этого, и давал точный результат, до дня рождения оставалось примерно 2 недели, именно за такой короткий промежуток времени мне и удалось воплотить сие решение. Итак, я не профессор математических познаний, поэтому язык моего изложения будет на уровне простой математики.

Применение AI в науке растет, но результаты его внедрения часто переоценены. Исследования показывают, что 79% публикаций, заявляющих о превосходстве AI, используют некорректные бенчмарки.

Это искажает представление о реальном потенциале AI в научном прогрессе.

Сложность текста: 2-3/5

Необходимые знания: должно быть достаточно основ теории многочленов, например, формул Виета

На случай, если современная культура окажется утерянной во времени, дам немного контекста, чтобы вы понимали, почему эта задача стоит изучения.

Интернет переполнен «математическими задачками с эмодзи». Они более-менее продуманы, поэтому в них легко запутаться, и у людей получаются разные ответы, что вызывает споры и обсуждения, делая посты виральными и так далее...

Естественно, настоящим математикам это надоело. В начале 2017 года на Reddit появился пост с заголовком «Меня утомила вся эта фейсбучная фруктовая математика. Хочет кто-нибудь придумать действительно сложную математическую задачу, чтобы побороться с этим явлением?».

В математике и информатике исследователи давно поняли, что некоторые вопросы принципиально не имеют ответа. Теперь физики изучают, как обычные физические системы накладывают жёсткие ограничения на то, что мы можем предсказать даже в теории.

Представьте себе мяч, который летит и упруго отскакивает от наклонной плоскости под углом 45°. Интуитивно понятно, что при абсолютно упругом ударе без трения он подчиняется тому же правилу, что и световой луч: угол падения равен углу отражения. То есть траектория мяча после удара симметрична траектории до удара относительно перпендикуляра к поверхности в точке. Этот факт существенно упрощает анализ движения – вместо того чтобы рассматривать изломанную траекторию с отражениями, можно воспользоваться принципом зеркального отображения.

Суть принципа в том, что каждый отскок о плоскость можно заменить продолжением движения мяча по прямой линии в “зеркальном” пространстве...

Diva Philippica, vox ubi coelica nunc Ciceronis?
Pax ubi civibus atque rebellibus ira Catonis?
Nunc ubi Regulus aut ubi Romulus aut ubi Remus?
Stat Roma pristina nomine, nomina nuda tenemus.

Божество филиппик, где ныне небесный голос Цицерона?
Мир где для граждан, а для мятежников где гнев Катона?
Где же Регул, где Ромул, где Рем?
От Рима осталось лишь имя. Имена, что мы держим — пустые.

Отсылкой к последней строке этого стихотворения Бернарда Клюнийского заканчивается "Имя розы" - знаменитый роман итальянского писателя-постмодерниста, философа и медиевиста Умберто Эко. В этом произведении одной из сюжетных линий идёт спор монахов-схоластов об истинности реализма и номинализма или, иначе говоря, о реальности абстрактных идей и математических структур. Именно об этом философском споре, растянувшемся на тысячелетия, я и хотел бы поговорить в своём сегодняшнем эссе. Последние слова великолепного стихотворения, которое в полном варианте на языке оригинала можно послушать здесь, дали название не только роману Умберто Эко, но и этому посту. Nomina nuda tenemus - "имена, что мы держим, пустые".

Что вы скажете, если я расскажу вам, что знаю метод разложения чисел на множители, который не так сложен, как алгоритмы QS и GNFS, основывается не на магии, а на логике и простых арифметических принципах, легко реализуется, его легко распараллелить для ускорения вычислений, он не требует много памяти и при этом зачастую в разы эффективнее метода Ферма́? Заинтересовало?

Тогда постараюсь рассказать вам про него таким языком, чтобы он был понятен не только математикам. Не будет никаких сложных концепций, квантов или эллиптических кривых — только квадрат и остаток от деления.

Примеры, объяснения, таблицы — всё на месте. Даже если вы забыли, что такое , вы всё равно поймёте, как это работает.

Говорят, что невозможно по-настоящему возненавидеть кого-то, если сначала не полюбил его. Не знаю, справедливо ли это в целом, но это определённо описывает моё отношение к NumPy.

NumPy — это ПО для выполнения вычислений с массивами на Python. Оно невероятно популярно и очень сильно повлияло на все популярные библиотеки машинного обучения, например, на PyTorch. Эти библиотеки во многом имеют те же самые проблемы, но для конкретики я рассмотрю NumPy.

Магия «правильных» паттернов

Представьте: пользователь заходит в приложение и мгновенно чувствует — здесь всё "на своих местах". Никакого визуального шума, только приятное ощущение порядка. Секрет такого эффекта может крыться во фракталах с размерностью D 1.3–1.7.

Как практикующий UX/UI-дизайнер, я долго искал закономерности между успешными интерфейсами и их визуальными характеристиками. Оказалось, что лучшие работы часто содержат паттерны с определённым уровнем сложности — тем самым "золотым сечением" фрактального мира.

В мире математики существует множество удивительных чисел, которые обладают уникальными свойствами. Изучение подобных математических феноменов развивает логическое мышление, открывает новые горизонты для исследований и практических применений.

В 1949 году индийский математик Даттарая Капрекар обнаружил интересную закономерность у четырёхзначных чисел. При выполнении определённых действий с четырёхзначными числами (кроме тех, в которых все цифры одинаковые) всегда получается одно и тоже число.

Почему мозг любит деревья, а пользователи — простые интерфейсы

Фракталы — это не просто красивые узоры, а мощный инструмент в дизайне UX. Как природные паттерны помогают создавать гармоничные интерфейсы, улучшать навигацию и усиливать визуальное восприятие? В статье разбираем реальные примеры, принципы работы с фракталами и их влияние на пользовательский опыт.

Для дизайнеров, разработчиков и всех, кто хочет сделать интерфейсы естественными и удобными.

Каждый год 14 февраля в корпоративной соцсетке Контура лайки (реакции вида «палец вверх») превращаются в вылетающие сердечки. Анимация сердечек настолько залипательна, что способна отвлечь многих сотрудников от работы: по нашим данным они нажимают на лайк снова и снова. Дело в том, что каждый полет сердечек уникален. Давайте расскажу, как это устроено.

Есть 1000 одинаковых колб с прозрачной жидкостью.

В 999 колбах вода, а в одной случайной - отрава.

Если мышь попробует отраву, то она погибнет через 1 час.

Как найти отравленную колбу за минимальное время?

Мы продолжаем рассказывать о проектах Зимней школы RISC-V, организованной YADRO. Возможно ли создать программный генератор на базе открытой архитектуры, используя физически неклонируемые функции (PUF) динамической памяти? Команда из БГУИР — Никита Малявко, Ксения Трубач, Михаил Кулик, Павел Шлык — в своем проекте проверила гипотезу о наличии PUF в динамической памяти и создала модель одноканального источника шума. Затем реализовала постобработку и тестирование, измерила производительность генератора и оптимизировала код.

Всевозможные катастрофы и «чёрные лебеди» бывают очень разнообразными, они тревожат, занимают наше внимание и забивают эфир подробностями. Для того чтобы выработать устойчивость к ним (то, что сейчас называют «антихрупкостью») стоит сосредоточиться и исследовать само явления катастрофизма. Выйдя за рамки философствования в духе «все там будем», можно обнаружить и общие закономерности и признаки систем, тяготеющих к катастрофическим сценариям развития.

Сегодня я предлагаю рассмотреть поведение очень простой, наглядной и прозрачной модели распространения лесных пожаров, для того чтобы познакомиться с важным и универсальным явлением самоорганизующейся критичности (СОК) и его свойствами.

«Каждый из нас лишь выиграет, создавая время от времени «игрушечные» программы с заданными искусственными ограничениями, заставляющими нас до предела напрягать свои способности. Искусство решения мини задач на пределе своих возможностей оттачивает наше умение для реальных задач»

Дональд Кнут (с)

Как известно, на машине Тьюринга (далее МТ) запрограммировать можно всё, что мы вообще считаем программируемым, но в реальности программы на МТ настолько громоздкие, что МТ редко используется даже в академических примерах. И тем не менее в некоторых отдельных случаях с помощью МТ получается написать небольшую программу, на КДПВ изображена программа из 5 состояний на алфавите из 3 символом. Если вы изучали программирование, то задачу, которую решает эта программа, вы скорее всего встречали. Если я сумел вас заинтересовать, то приглашаю в небольшое приключение по реверс инженирингу МТ.

Материал статьи предоставлен Владимиром Пинаевым

Лесные пожары – явление столь же древнее, сколь и сама жизнь на суше. Величественные и одновременно ужасающие, они способны за считанные часы превратить гектары зеленого массива в выжженную пустыню, неся угрозу экосистемам, человеческим поселениям и климату планеты. Ежегодно новости пестрят сообщениями о новых очагах возгорания, о борьбе стихии и человека. Но что если мы попытаемся заглянуть в самое сердце этого хаотичного, на первый взгляд, процесса? Что если мы сможем не просто наблюдать, а моделировать, предсказывать и даже экспериментировать с распространением огня, не выходя из-за своего компьютера?

Содержание текста статьи у некоторых читателей Хабра вызвало определенный интерес (судя по комментариям). Что в общем-то не удивительно, так как тема статьи весьма актуальная для современного общества – информационная безопасность. Специалисты проявляют интерес и активно разрабатывают тему с момента открытия двухключевой криптографии и односторонних функций (около 50 лет).

На самом деле проблема гораздо шире границ предметной области – информационная безопасность, что можно понять уже из рассмотрения частной задачи – факторизации числа. Математики в разных частях и странах мира на протяжении многих тысячелетий пытаются решить задачу разложения большого числа (ЗРБЧ) на множители – найти операцию обратную умножению, но до сих пор без особого успеха. Числа с разрядностью нескольких сотен пока разложить на множители не удается. 

Известно несколько подходов к решению проблемы (алгоритм Ферма, числовое решето, эллиптические кривые, CFRAC, CLASNO, SQUFOF, Вильямса, Шенкса и др.), которые критикуются и не кажутся перспективными и которые даже не претендуют на универсальность. Автором публикации предлагается оригинальный подход к решению проблемы с претензией на универсальность, т.е. без каких либо ограничений на факторизуемые числа, в частности, ограничений на разрядность чисел.

Появилась уверенность, что по крайней мере читатели domix 32; wataru; Naf2000 понимают, что в моих статьях идет речь о модели, так как вопросы задаются осмысленные.
Здесь важно понимать в рамках какой модели числа разрабатывается алгоритм поиска делителей (сомножителей) заданного составного числа, допущения, ограничения, требования и другие условия модели. Понимать какое влияние они оказывают на характеристики, в частности, на длительность процесса поиска решения.

Известные в настоящее время подходы и алгоритмы не обеспечивают с приемлемыми временными характеристиками получение решения.
В настоящее время ситуация с моделированием чисел и факторизацией как пишут Манин и Панчишкин близка к тупику или уже в тупике.