Математика *

Перечитал давний доклад академика Арнольда В.И. о сложности последовательностей нулей и единиц, в которй он использует монады для определения сложности.
Доклад в двух вариантах, с цветными картинками и академик тут очень красиво и подробно рассказывает, почему одна последовательность сложнее другой и как это видно и строгий вариант "Доклад в Московском математическом обществе"

Вот тут можно прочитать и посмотреть, советую
https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430178/430281

Там много интересного, но запомнились монады, как инструмент, весьма наглядный, для демонстрации связей и путей от сложного к простому нулю. Если кратко, то монады это простое отображение множества на себя, т.е. каждый элемент множества отображается на элемент того же множества.

Вот и захотелось глянуть на монады точек эллиптической кривой над конечным полем.

Аэродинамические трубы (АДТ) позволяют проводить реальные испытания с моделями летательных аппаратов и получать данные, которые помогают улучшить форму и конструкцию самолетов, космических аппаратов, мостов, зданий и архитектурных сооружений, автомобилей и судов.

В статье впервые в современной литературе приводится пример использования в XVIII веке логарифмов для замены при расчётах умножения и деления.

В статье впервые в современной литературе приводится пример использования в XVIII веке логарифмов для замены при расчётах умножения и деления.

Как известно, в результате изобретения логарифмов появилась возможность заменять умножение и деление, соответственно, сложением и вычитанием логарифмов обрабатываемых чисел, а возведение в степень и извлечение корней — умножением и делением логарифмов.

Большое количество расчётных задач, в которых использован этот приём, представлено в первом русском учебнике геодезии [1]. Приведу пример — задачу определения высоты далеко расположенной горы QP с учётом кривизны земного шара (см. рис. 1).

Прошлым летом в свет вышла новая архитектура нейронных сетей под названием Kolmogorov-Arnold Networks (KAN). На момент выхода статьи про KAN эта новость произвела фурор в мире машинного обучение, так как KAN показывала существенный прирост в качестве аппроксимации различных сложных функций. Ошибка новых сетей падает значительно быстрее при увеличении числа параметров. Однако, за все приходится платить, и цена таких маленьких значений функции ошибки - медленное обучение: KAN обучается примерно в 10 раз медленнее, чем старый добрый MLP. Из всего этого возникает вопрос: насколько все же уместно использование новой архитектуры вместо привычных всем MLP?

В данной статье будет найдена функция, которая может быть реализована с помощью двухслойного KAN полиномиальной ширины, но не может быть приближена никакой двухслойной ReLU MLP сетью с полиномиальной шириной

Мой первый опыт публикации и рассказ о том, как я за четыре недели сделал рабочую альфа-версию покер-бота. В проекте использованы методы Монте-Карло, компьютерное зрение (YOLO), Python и инструменты вроде Cursor и Roboflow.

Текст будет полезен новичкам в машинном обучении и компьютерном зрении, тем, кто хочет понять, как связать ИИ, детекцию объектов и покерную математику в одном проекте, а также всем, кто интересуется практическим применением ИИ для создания собственных инструментов.

История бесконечности потенциально бесконечна, но фактически, увы и ах, эта статья будет последней в нашем цикле. Кстати, предыдущее предложение звучало бы смешнее на английском (...but actually). Но я пишу её не на языке Ньютона и Шекспира, а на языке Колмогорова и Есенина, так что придётся читателю довольствоваться лишь потенциальным каламбуром.

В компьютерных RPG часто бывает три концовки: добрая, злая и true ending. В данном случае реальная жизнь повторяет за геймдевом, и в истории бесконечности все эти сюжетные ветки также присутствуют. Под катом я расскажу, в чём их смысл и какие персонажи класса «математик» прошли игру «Жизнь» с этими концовками.

Можете ли вы отличить синус от косинуса, арифметическую прогрессию от геометрической, а моду от медианы? Если даже размышления на эти темы вызывают боль, то вы не одиноки. 

В этой статье я собрала рабочие приёмы, которые помогут снизить боль от знакомства с дивным новым миром производных и интегралов. Материал составлялся с расчётом на разработчиков и аналитиков, которым математика нужна для работы, но многие советы универсальны и подойдут большинству людей при освоении любого нового предмета.

Привет, Хабр! Сегодня вычислительные мощности растут экспоненциально. Это значит, что каждый год удваивается количество транзисторов на чипе, с помощью которых можно решать все более сложные задачи, создавать продвинутые нейросети и технологии. 

Но человечество совершало масштабные открытия, меняющие мир, задолго до появления компьютеров: древние ученые определяли радиус Земли и расстояние до Луны, вычисляли число пи и закладывали основы математической логики. Разбираемся, как они это делали без калькуляторов, процессоров и алгоритмов. 

Сейчас на Хабре много пишут о галлюцинировании нейронных сетей и больших языковых моделей в частности. Хорошим введением в эту тему, написанным с философских позиций, мне представляется текст уважаемого Дэна Рычковского @DZRobo «Когда ИИ закрывает глаза: путешествие между воображением и галлюцинациями». Базовое техническое погружение в тему вы найдёте в статье уважаемой @toppal «Причины возникновения галлюцинаций LLM», это перевод академической статьи специалистов Харбинского технологического института, опубликованной в конце 2024 года. Действительно, в большинстве источников галлюцинации ИИ рассматривают либо в негативном ключе, либо как неизбежный побочный эффект, связанный с попытками «вшить» синтетический аналог воображения в вычислительную сеть.

Я же хочу остановиться на менее известном аспекте работы нейронок, в котором галлюцинации могут восприниматься как положительная и даже необходимая часть работы алгоритма. Речь пойдёт об искусственном повышении размерности данных, подаваемых на вход в нейросеть, и о том, к чему такая практика может приводить. Наиболее известное проявление такого эффекта известно в англоязычных источниках под названием «проклятие размерности» (curse of dimensionality).

Продолжаю серию статейсерию статей, в которой даётся мягкое, но последовательное введение в принципы построения геометрических алгебр.

Внешняя алгебра, рассмотренная во второй части, позволила нам получить алгебраическую модель аффинного векторного пространства. Однако геометрией, даже школьной, в таком пространстве заниматься не получится. Когда все имеющиеся в нашем распоряжении подпространства привязаны к одной общей точке, особо содержательной геометрии не построить. Прямых и плоскостей в ней может быть навалом, но даже элементарного треугольника соорудить не получится, потому что точка во всей такой геометрии одна единственная, и всё без исключения прямые проходят через неё.

В этой части мы превратим аффинную геометрию в гораздо более содержательную проективную геометрию, оставаясь в пределах внешней алгебры. Рассмотрим как алгебраически представляются базовые элементы такой геометрии и основные операции с ними, познакомимся с идеальными объектами, а также выясним какие ограничения накладывает алгебра на наши геометрические возможности.

На картинке для привлечения внимания вращается четырёхмерная сфера, построенная средствами внешней алгебры.

Без воды и лишней теории (хотя я так не считаю, что она лишняя), на примере конкретного кейса разберем, как быстро и без боли запустить A/B-тест через Яндекс.Метрику и куки.

Последовательность Туэ-Морса может встретиться в совершенно разных местах. Одним из которых является задача о многочленах, которая, на первый взгляд, не имеет решения. О такой задаче и её решении и идёт речь в этой статье.

В течение месяца вы проходите собеседования, получаете офферы — и хотите выбрать лучший. Но каждый оффер живёт недолго: если не согласитесь вовремя, к нему уже не вернуться. Как действовать, чтобы выбрать самый лучший?

Это версия классической задачи о разборчивой невесте. У неё есть красивая оптимальная стратегия — правило . Возможно, вы о нём слышали. Но знаете ли вы, почему оно работает? И как вообще до него додуматься?

Часто алгоритмы — это эвристики, без гарантии оптимальности. Но в этой задаче всё иначе. Мы шаг за шагом переоткроем правило  и докажем, что он действительно лучший

Недавно я узнал о Теореме о Шансах — более общем подходе, который, неожиданно, работает гораздо проще, чем классическое доказательство. По-русски о ней еще никто не писал

В статье мы разберём эту теорему, выведем правило и увидим, как в задаче естественно появляется число  — и какой у него смысл на самом деле

Эта задача стоит того, чтобы пройти её до конца. Будет понятно, красиво и интересно

Слышали, что TonKeeper и MyTonWallet неприступны?

Хорошо, давайте проверим это на практике. Разберем, как взломать любой TON кошелек методом перебора seed-фразы. Спойлер: метод рабочий не для всех

Парочку вводных

Каждый кошелек защищен seed-фразой из 12 или 24 слов. Эти слова берутся из словаря BIP39 – там ровно 2048 вариантов (словарь). Слова могут повторяться, так что теоретически ваша фраза может быть из 12 одинаковых «gas» или «trip».

Сколько всего комбинаций нужно перебрать?

- Для 12-словного кошелька: 2048¹² = 5,44 × 10³⁹ (дуодециллион, вы этого слова больше никогда не увидите в жизни)

- Для 24-словного: 2048²⁴ = 2,96 × 10⁷⁹ (видинтисексиллион, и это тоже)

Звучит много, но для кого? Для человека явно многовато, а для современного мощного железа?

Если у криптанов есть деньги на майнинг, то и на взлом найдется. Берем топовую RTX 4090 – она проверяет около 100 миллионов seed-фраз в секунду. Звучит внушительно, согласны?

Но вот незадача: для взлома 12-словного кошелька при такой скорости понадобится 1,72 × 10²⁵ лет. Возраст Вселенной – 13,8 миллиарда лет. Начинаете понимать масштаб нашей задачи?

- Окей, но это же время исключительно для одного конкретного кошелька, а если нам любой кошелек подойдет, а не один конкретный (кошелек Дурова)

Что если просто генерировать случайные seed-фразы и надеяться наткнуться на ЛЮБОЙ активный кошелек? Это же должно быть проще?

В TON примерно 50-100 миллионов кошельков (tonstat.com), из них с деньгами – ~5-10 миллионов.

Таким образом, наш шанс найти любой активный кошелек: 1 к 5,44 × 10³² за итерацию подбора.

Когда я учился в школе, самым передовым способом разбирать темы, которые плохо дались на уроке, был сайт с ГДЗ. Ну или, если повезло, — «Знания», где добрые души пытались объяснить, откуда берётся загадочный икс. Но как же было бы здорово, если бы там быстро отвечали на все вопросы и разбирали каждый шаг — ещё и на другие шаги!

Теперь, с появлением нейросетей, достаточно сфотографировать задачу — и алгоритм не только решит её, но и подробно объяснит всё, что вы спросите. Понятное дело, что со стандартной школьной программой они справляются неплохо. Но сегодня мы решили пойти чуть дальше: протестировать нейросети не только на типовом задании, но и на олимпиадной задаче.

Мы взглянем на пятерых цифровых математиков. Посмотрим, на что они действительно способны. И пришло ли время, когда эра ГДЗ остался в прошлом, а его место заняли алгоритмы?

Приятного чтения!

Представьте: 1453 год, стены Константинополя.

Несколько армий окружили последний оплот Византийской империи. Генералы должны атаковать одновременно – иначе провал. Но среди них есть предатели, готовые сорвать операцию. Связь только через гонцов, которые могут не дойти или солгать.

Как в таких условиях принять единое решение?

Эта задача казалась чисто академической, когда в 1982 году ее впервые сформулировали в научном журнале. Тогда никто не мог предположить, что через несколько десятилетий ее решение станет основой революции, которая изменит представление о деньгах, доверии и власти.

Сегодня эта же проблема решается каждые несколько секунд в блокчейне TON. Валидаторы сети – это те самые византийские генералы, которые должны договориться о том, какие транзакции подтвердить. И среди них тоже могут быть "предатели" – мошенники, пытающиеся обмануть систему.

Без понимания этой связи невозможно разобраться в работе любого современного блокчейна. Ведь в основе каждого из них лежит ответ на простой вопрос:

Как группе незнакомцев договориться о чем-то важном, не доверяя друг другу?

Зачем дата-сайентисту векторы, матрицы и собственные значения? В статье Марии Жаровой, ML-инженера Wildberries и автора канала Easy Data, — простое объяснение, как линейная алгебра помогает понимать, что происходит внутри моделей машинного обучения. Без доказательств и зубрежки: только визуализации, реальные кейсы и примеры из практики.

На протяжении десятилетий криптографическое сообщество опиралось на преобразование Фиата — Шамира как на надёжный инструмент для построения неинтерактивных доказательств. Эта техника позволила компьютерам "доказывать истину" без диалога, обеспечив безопасность блокчейнов, систем аутентификации и протоколов обмена ключами. Но что если сама логика этой схемы уязвима?

В новом исследовании международная группа криптографов — Рон Ротблум, Дмитрий Ховратович и Лев Суханов — вскрыла неожиданный изъян в фундаменте цифрового доверия.

В математике поиск оптимальных моделей никогда не заканчивается. Не является исключением и задача упаковки шаров — как максимально эффективно запихнуть шары в коробку (с большим числом измерений). Она привлекает математиков уже несколько столетий и имеет важные приложения в криптографии, дальней связи и многом другом.

Это обманчиво простая задача оборачивается чрезвычайно сложной. В начале XVII века физик Иоганн Кеплер показал, что, укладывая трёхмерные сферы так, как укладывают апельсины в продуктовом магазине, можно заполнить около 74% пространства. Он предположил, что это наилучшее возможное расположение. Но математикам потребовалось почти 400 лет, чтобы доказать это.