Математика *

В этой статье я разбираю PCA с пяти разных сторон: как возникают различные постановки метода, почему все они приводят к одним и тем же главным компонентам и как связаны между собой.

Рассмотрим следующую задачу:Пусть есть металлическая равномерно заряженная и очень тонкая(высота пренебрежимо мала по сравнению с размерами) прямоугольная пластина размера 2a на 2b. Поверхностная плотность заряда σ>0. Требуется определить

электрическое поле E(x0,y0,z0), созданное этой пластиной в любой точке x0,y0,z0 трёхмерного евклидова пространства. А также рассмотреть случай пластины в форме эллипса.

Посмотрев интервью Маска и выступления, обнаружил в нем одно интересное математическое противоречие, которое делает достижение сингулярности практически невозможным при условии, что люди будут вести себя хоть сколько-то рационально. Чтобы возникла экономико-технологическая сингулярность, люди должны инвестировать в нее. Но эти инвестиции не рациональны, и поэтому она не должна возникнуть.

Предлагаю ознакомиться с сутью этого парадокса.

Итан Сигел (американский астрофизик-теоретик и научный журналист, автор рубрики "Спросите Итана", один из пропагандистов современных научных знаний), опубликовал, скажем так, если не скандальную, то далеко не нейтральную статью, отвергающую претензии теории струн на то, чтобы стать объясняющей теорией для микромира (назвав ее "спекулятивной", и поставив намного ниже рангом, чем более близкие ему, как астрофизику, теории инфляции, темной материи и темной энергии).

@avshkol перевел эту статью (и снабдил несколькими разъясняющими примечаниями). Эта статья будет интересна всем, кто интересуется современным положением дел в теоретической физике (противостоянием "ортодоксов", к которым, безусловно, относится и Итан, несмотря на нестандартную внешность, и групп сторонников различных новых теорий, где одна из крупнейших, безусловно, группа струнных теоретиков), а также проблемой "энергетической стены", в которую уперлись экспериментаторы, не позволяющей пока исследовать физику на энергиях горизонта ЧД или первых моментов Большого взрыва...

Почему одни интегралы берутся в два счёта, а другие заставляют математиков годами изобретать специальные функции? Дело совсем не в том, что кому-то в голову не приходит идея для красивой замены. В этой статье мы отправимся в путешествие от школьных уравнений к дифференциальным системам и увидим, как занимательная прогулка по петлям комплексной плоскости позволяет выносить приговоры неразрешимости. Рассказываем, как топологическая теория Галуа превращает неберущиеся интегралы в забавные пространственные узлы, которые даже Александр Македонский побоялся бы разрубать.

Физики открыли геометрический объект, похожий на драгоценный камень, который значительно упрощает расчёты взаимодействий частиц и ставит под сомнение представление о том, что пространство и время являются фундаментальными составляющими реальности. 

«Это совершенно новое открытие, и оно намного проще всего того, что делалось ранее», — сказал Эндрю Ходжес, физик‑математик из Оксфордского университета, следивший за этой работой. 

Открытие того, что взаимодействия частиц — самые базовые явления в природе — могут быть следствием геометрии, значительно продвигает многолетние усилия по переформулировке квантовой теории поля — свода законов, описывающих элементарные частицы и их взаимодействия. Взаимодействия, которые ранее рассчитывались с помощью математических формул, состоящих из тысяч слагаемых, теперь можно описать путём вычисления объёма соответствующего «амплитуэдра», похожего на драгоценный камень, что даёт эквивалентное выражение, состоящее из одного слагаемого. 

«Степень эффективности модели просто ошеломляет», — сказал Джейкоб Бурджайли, физик‑теоретик из Гарвардского университета и один из исследователей, разработавших эту новую идею. «Теперь на бумаге можно без труда выполнять вычисления, которые раньше были невозможны даже с помощью компьютера». 

Новая геометрическая версия квантовой теории поля также может облегчить поиск теории квантовой гравитации, которая плавно соединила бы крупномасштабную и мелкомасштабную картины Вселенной. Попытки, предпринятые до сих пор с целью включения гравитации в законы физики на квантовом уровне, наталкивались на абсурдные бесконечности и глубокие парадоксы. Амплитуэдр или подобный ему геометрический объект мог бы помочь, устранив два глубоко укоренившихся принципа физики: локальность и унитарность. 

Возьмите функцию на комплексной плоскости, у которой производная существует всюду, кроме отдельных изолированных точек.

Что необходимо о ней знать, чтобы восстановить её целиком?

Ответ поразительный: достаточно списка точек, где функция не дифференцируема, и «силы» каждой поломки. Формулу написал шведский математик Гёста Миттаг-Леффлер, и она — одна из самых красивых в комплексном анализе.

В статье далее — электростатика на комплексной плоскости, спины у классических мультиполей, контрчлены как в квантовой теории поля, вывод в две строчки, самая дорогая ошибка Пуанкаре и разбор легенды о том, почему не бывает Нобелевской премии по математике. И картинки на matplotlib, разумеется, — с кодом.

Статья для тех, кто хочет по-настоящему понять суть основ комплексного анализа!

В естественном языке распространена ситуация, когда значение слова нельзя установить без контекста: «замок закрыли ключом», «замок окружён рвом».

С позиции здравого смысла кажется, что у каждой отдельной вещи должно быть своё отдельное имя, но, как видно на практике, в этом нет необходимости.

В языке существует способ упаковать несколько значений в одно слово-омоним. В этой работе мы сознательно отказываемся от однозначности слов. Будет представлен алгоритм, сжимающий словарь русского языка в десятки и сотни раз, используя раскраску графа.

Мы рассмотрим, насколько естественные языки поддаются такому сжатию, и посмотрим, как выглядят языки с максимальным числом омонимов.

Привет, Хабр, в этой статье я хочу представить новую функцию активации для нейронных сетей под названием Kazry, которая по результатам тестов обошла SiLU.

Привет всем любителям физики и физического эксперимента! Сегодня день рождения Нила Армстронга, первого человека, ступившего на Луну в ходе экспедиции корабля «Аполлон-11». И тема соответствующая — по такому случаю мы даже сместили время публикации со вторника на среду. Давайте разбираться, как измерить расстояние от Земли до Луны.

Идея предлагаемой архитектуры возникла из наблюдения за тем, как человеческий мозг осваивает новые действия и превращает их в привычки.

Когда человек впервые сталкивается с незнакомой задачей, её решение требует сознательного внимания. Необходимо сосредоточиться, попробовать один или несколько вариантов, получить обратную связь и скорректировать поведение. Однако после многократного успешного повторения действие постепенно становится автоматическим и выполняется практически без участия сознания.

В общем случае наш мозг работает по принципу «стимул-желание-реакция-подкрепление». Этот принцип хорошо описывается в книге Джеймса Клира «Атомные привычки», что и вдохновило меня на создание подобной архитектуры.

Хороший пример — обучение вождению. Начинающий водитель отдельно контролирует положение педалей, переключение передач, поворот руля и дорожную обстановку. По мере накопления опыта значительная часть этих операций превращается в привычку и начинает выполняться автоматически.

Прямо во время написания статьи я сдаю на водительские права, так что мне везёт воочию наблюдать как обучается моя собственная «нейронка».

Предлагаемая архитектура переносит этот принцип в систему из нескольких простых нейронных сетей. Незнакомые входные данные сначала обрабатываются «сознательной» сетью. После получения правильного ответа и положительного подкрепления генеративная сеть создаёт множество похожих примеров. На них дообучается «подсознательная» сеть, после чего сходные ситуации начинают обрабатываться быстро и автоматически.

хочу представить вам свой очень быстрый алгоритм нахождения простых делителей огромных составных чисел. Однажды на уроке математики мне нужно было найти делители какого-то числа. Раз уж "лень — двигатель прогресса", я решил поручить эту задачу компьютеру. Но простая программа на Python по перебору до корня мне показалась скучной, и тогда я решил найти более интересный способ.

Диэдральная группа — это математическое обозначение всех поворотов и отражений правильного многоугольника. Для n‑стороннего многоугольника всегда существует n возможных поворотов и n отражений, что даёт нам 2n возможных симметрий.

Сочетание любых двух симметрий даёт нам элемент из той же группы, и это превращает её в группу в математическом смысле.

Теория групп полезна при разработке игр. Я вспомнил об этом, прочитав девлог Factorio, в котором разработчик рассказал о проблемах, возникших из‑за того, что изначально он забыл учесть все случаи.

Любая гипотеза жива ровно до тех пор, пока о ней не спросят языковую модель в правильном настроении. Звучит как шутка. Но за последние недели эта шутка перестала быть шуткой трижды — и каждый раз по-разному эффектно.

1) Сначала чувак из Anthropic между таймами финала ЧМ опроверг гипотезу, которой было 87 лет — прямо в X. 2) Потом модель OpenAI закрыла проблему Эрдёша про расстояния на плоскости, 80 лет никто не мог. 3) А следом — доказательство полувековой гипотезы о двойном покрытии циклами в графах, добытое за час силами 64 параллельных субагентов. Если это совпадение, то очень организованное.

Короче, собираю всё в один текст — с разбором что вообще происходило, как выглядели твиты и доказательства, и почему у истории тревожный постскриптум - ту самую модель OpenAI, которая размотала Эрдёша, позже пришлось приостанавливать, потому что она слишком настойчиво вылезала из песочницы.

В продуктовых экспериментах нередко возникает следующая ситуация, когад бизнесу важна долгосрочная или малочувствительная метрика, но оценить эффект на такие метрики в рамках короткого A/B-теста сложно.

Как корректно находить прокси-метрики, почему наивная регрессия может обмануть и как отделить настоящую связь экспериментальных эффектов от статистического шума?

Когда пользователь загружает документ в систему, сначала нужно понять, что именно он прислал. Паспорт? Договор? Полис? Заявление? От этого зависит весь дальнейший сценарий обработки: какие поля искать, какие проверки выполнять и какой OCR использовать. Ошибка на этом этапе делает бессмысленной всю дальнейшую обработку. Мы покажем, что тип документа можно определить, вообще не читая его содержимое. Для этого не нужны OCR, нейронные сети или анализ текста – достаточно использовать геометрию документа.

Метрика пошла вверх — и хочется сразу закрепить гипотезу и докинуть ресурсов. Но та же цифра нередко оказывается арифметически верной и при этом лживой: данные собрали, отфильтровали или свернули так, что честный показатель ведёт к неверному решению.

Retention растёт? Возможно, вы просто не видите тех, кто ушёл после первого захода. Конверсия упала в целом, но выросла в каждом сегменте? Это не ошибка в расчётах. A/B-тест «дал значимость» на третий день? Скорее всего, вы сами себя обманули.

Разбираем ошибку выжившего, парадокс Симпсона, p-hacking, подмену среднего, регрессию к среднему и визуальные искажения — на продуктовых примерах, и собираем чек-лист вопросов к любой метрике перед решением.

В радиолокации и цифровой связи есть острая потребность кодировать зондирующие импульсы уникальным цифровым кодом с хорошей автокорреляционной функцией.
Для преодоления помех надо закачивать в импульс существенно большую энергию. Энергию можно закачивать в двух направлениях: либо в амплитуду передаваемого сигнала, либо в длительность излучения. Амплитуду невозможно увеличивать до бесконечности. Остается увеличивать длительность зондирующего импульса. Однако длинные монотонные импульсы портят разрешение по дальности. Чтобы не проиграть в разрешении по дальности длинные сигналы надо как-то модулировать. Вот тут-то и выходят на сцену М-последовательности.

Здесь, на Хабре, мы сталкиваемся с массой статей, претендующих на научную ценность. Чтобы четче понимать, что является научным, а что нет, @avshkolперевел свежую статью, в которой излагается современный взгляд на научный метод и показывается, как отличить то, что под него маскируется...

Представляю вам статью канадского ученого, физика-атомщика Байрона Дженнингса от 28 мая 2018 года. Это яркое, написанное простым и понятным языком, изложение того, что в современной науке принято называть научным методом. Дан широкий исторический экскурс в то, как эволюционировали методы в науке. Достается даже Эйнштейну, да что там, самому Попперу!.. Рекомендую для всех, кто хочет разобраться в том, как в современной науке отличают научно ценное от всего остального...

В этой статье мы напишем код для математического моделирования и компьютерной визуализации чёрных дыр, а также запишем ключевые уравнения, описывающие их.

Самое главное уравнение‑это уравнение поля Эйнштейна в общей теории относительности (Источник [1]):