Математика *

12 июля флагманская GPT-5.6 Sol Pro после восьми часов размышлений побила лучший человеческий результат в задаче о длине пути градиентного спуска — и оформила его полноценной статьей на 14 страниц с доказательствами, таблицей констант и скриптом для их проверки. Прежний рекорд — оценка 2.29^n — принадлежал людям, но о нем мало кто знал: он так и не был опубликован. Историю двухлетнего противостояния людей и моделей исследователь OpenAI Себастьен Бубек рассказал в треде 10 июля, а уже через два дня объявил о падении рекорда.

Вариант этой игры на маленьком поле лучше классического не только тем, что не такой бесконечно долгий, но и возможностью полностью «решить» её. Граф состояний не такой большой, примерновершин. А зная граф состояний, легко построить оптимальную стратегию игры.

Но что, если сама игра не совсем честная? По нашей оптимальной стратегии мы построим «злой» вариант поля, который будет её уничтожать. Небольшой спойлер, она проиграет за 23 хода, при том, что на классическом поле в среднем держалась 367. И напоследок вы сможете сами попробовать свои силы против злого 2048.

В современном цифровом мире — от глобальных сетей передачи данных до логистических цепочек и систем обработки транзакций — мы постоянно сталкиваемся с необходимостью эффективного управления потоками. Как обеспечить бесперебойную работу интернет-соединений при пиковых нагрузках? Как оптимизировать маршруты доставки товаров в мегаполисе? Как спроектировать call-центр, чтобы клиенты не ждали ответа? Ответы на эти вопросы лежат в области теории массового обслуживания — математической дисциплины, изучающей системы, где заявки (пакеты данных, клиенты, транспортные средства) поступают на обслуживание, образуя очереди.

Кибернетика второго порядка выросла из парадоксальной задачи: как втянуть наблюдателя в описываемую им картину, чтобы система «отвечала» за собственную позицию. До сих пор эту проблему пытались решить либо уходом в бесконечный регресс мета-наблюдателей, либо введением субъективных понятий сознания.

В этой статье мы переводим проблему наблюдателя с языка философии на язык математики. Мы разделим наблюдателя на две дуальные структуры:

Акт (Различение) — свободную операцию на дискретном кубе состояний. Он меняет систему, но сам не может стать её состоянием (математический эквивалент «слепого пятна» Никласа Лумана).

Инвариант (Центр) — единственную неподвижную точку рекурсии, математически вынужденную на непрерывном пополнении системы (проявление «собственной формы» Хайнца фон Фёрстера).

Стык этих двух сторон устроен как изотропная граница — аналог ленты Мёбиуса, где дискретная логика склеивается с непрерывной топологией. Мы докажем теорему о невключимости наблюдателя и исследуем, почему попытка сделать его частью дискретной системы неизбежно её разрушает.

Представьте, что 12 нот хроматической гаммы и 12 оттенков цветового круга — это не просто разные физические волны, воспринимаемые нашими органами чувств, а проекции единой математической структуры. Что если законы музыкальной гармонии (аккорды) и правила художественного контраста (цветовые схемы) можно описать с помощью чистой арифметики делителей на гранях правильного многогранника?

В этой работе мы подробно разберем, как объединить хроматическую гамму и 12-цветовой круг на вершинах правильного икосаэдра с помощью арифметики делителей. Исследуем путь от простейших бинарных признаков до геометрической разметки многогранника, где музыкальные интервалы и цветовые гармонии оказываются следствиями одних и тех же численных инволюций.

Эта работа показывает, что глубинная связь между звуком и цветом носит не волновой, а структурно-категорный характер. Для понимания статьи не требуются глубокие знания высшей математики.

В формальных науках — математике, логике, теоретической физике, теории информации — наблюдатель часто появляется либо как нечто заранее данное, либо растворяется в формализме как набор переменных или граничных условий. Но что такое наблюдатель структурно? Какие минимальные требования должна удовлетворить модель, чтобы то, что она описывает, можно было читать как акт наблюдения?

В этой статье мы строим минимальную toy-модель наблюдателя, основанную на трех простых требованиях: позиционном зазоре (различающее не равно различаемому), наличии следа и самозамкнутости. Начиная с простейшего акта проведения границы (оператора NOT) и вынужденно, единственным способом расширяя его до трех независимых различений, мы получаем активную сцену из 6 точек (булев гиперкуб без полярных состояний 000 и 111).

Полученная комбинаторная сцена несет в себе сеть отношений, которая одновременно и изоморфно разворачивается в трех разных мирах:

В геометрии — как скелет правильного октаэдра ();

В теории цвета — как оппонентный цветовой круг человека (первичные цвета RGB, вторичные CMY и их пары дополнений);

В арифметике — как структура собственных делителей числа 30 (2, 3, 5).

В общем, текст о том, почему простейший акт различения оставляет один и тот же след в геометрии, биологии и математике.

10 июля, на следующий день после публичного запуска GPT-5.6 Sol Ultra, OpenAI заявила, что ее флагманская модель нашла доказательство гипотезы о двойном покрытии циклами — одной из самых известных открытых задач теории графов, стоявшей около полувека. По словам сотрудника OpenAI Итана Найта, модель справилась меньше чем за час, задействовав 64 параллельных сабагента. Сразу стоит отметить, что пока доказательство только проходит проверку математиками — и на данном этапе больше интересен подход, который OpenAI применила при решении задачи.

То, что свет нельзя обогнать, сложение скоростей, замедление времени — всё это стоит на обычном школьном синусе, которому угол сделали мнимым. Не метафора и не «похоже» — буквально та же функция. Давайте убедимся в этом сами.

Это финал серии. В первой синус был показан тенью вращающейся стрелки, во второй — каталогом из сорока с лишним мест, где эта тень лежит. А в конце каталога была ремарка, что у синуса есть гиперболический двойник, за которым стоит ещё пол-математики.

В основе всей статьи один ход, и он не мой — ему двести с лишним лет: подставить в синус мнимый угол. Операция законна с тех пор, как Эйлер переписал синус через экспоненту: ряду всё равно, веществен ли аргумент. Этим ходом Лобачевский объяснил свою геометрию, а Минковский — построил пространство-время; мы пройдём тот же путь с выводами. Итак: что такое sin(iθ)?

Путь: ход Эйлера → корень всего → круг и гипербола → геометрия Лобачевского → эмбеддинги нейросетей → относительность → малые углы → чёрная дыра → бонус: слово «синус» → итог

Он создал первый в истории механизм, безупречного воспроизводивший человеческое движение. А из его математической школы вышло много имен, прославивших отечественную науку. Это история Пафнутия Львовича Чебышёва.

В некоторых задачах приходится решать задачу на интегрирование по треугольнику той или иной функции. Интегрирование аналитическими методами не всегда приводит к удовлетворительному результату по той причине, что аналитические методы или требуют много времени для своего выполнения, или требуют много памяти, или неприменимы в силу того, что аналитического решения нет, или способ нахождения ещё не был найден.

В статье подробно рассматриваются принципы работы больших языковых моделей (large language model, LLM). Поскольку в основе большинства современных LLM лежит архитектура трансформера (transformer), ее понимание дает представление о ключевых механизмах, обеспечивающих работу таких моделей.

В этой статье мы разберем ключевые принципы работы современных LLM, построенных на архитектуре трансформера. Я постараюсь объяснить основные идеи без погружения в сложную математику. Конечно, для глубокого понимания темы математическая база важна, но для первого знакомства этого материала должно быть достаточно.

Откуда картошка? Из Египта, вестимо..Картофель на прилавке продуктового магазина - выбирай на вкус! - сколько здесь символов?

В предыдущей главе мы рассматривали ситуацию, когда данных слишком много: большое количество признаков затрудняет их анализ, увеличивает вычислительные затраты и приводит к различным негативным эффектам, связанным с высокой размерностью. Для решения этой проблемы мы изучили понятие понижения размерности.

Теперь перейдем к совершенно другой ситуации. Предположим, что с данными все в порядке: признаков достаточно, они хорошо описывают объекты, однако отсутствует целевая переменная (target). Мы не знаем, к каким классам принадлежат объекты, а значит, привычные алгоритмы обучения с учителем применять уже нельзя.

Возникает вопрос: можно ли, имея только сами объекты и их признаки, автоматически обнаружить в данных закономерности и выделить группы похожих объектов? Именно эту задачу решают алгоритмы кластеризации.

В данной статье я не пытаюсь дать ответ на вопрос "что такое сознание". Сложная проблема сознания слишком сложна, и неизвестно, получим ли мы когда-либо ответ. Однако я хочу простукать стены физических теорий, чтобы по глухому найти пустоты, где может разместиться сознание и свобода воли, не нарушая физических законов.

okama MCP бесплатно подключает ИИ-ассистента (ChatGPT, Claude, Gemini) к финансовому движку и данным проекта okama: реальные расчёты доходности, риска и прогнозов вместо выдуманных чисел и галлюцинаций.

Как насчёт танцев на петлях? Проведём коэффициенты уравнения по замкнутому пути и посмотрим, как переставляются его корни. Окажется, что именно этот танец делает пятую степень неразрешимой и доказать это можно без теории Галуа.

Range minimum query – это классическая задача, в этой заметке решаем статический вариант. Есть массив ; нужно построить структуру данных, которая умеет быстро находить минимум и его позицию на произвольном интервале . Я собрал несколько практических наработок и сделал из них два очень компактных и быстрых варианта:

вариант с дополнительных бит, которому иногда нужно обращаться к исходному массиву;

вариант с дополнительных бит, который отвечает на запросы без доступа к исходному массиву.

Обе реализации очень быстры на практике: на случайных запросах по массиву размера элементов они работают в среднем за 20–30 нс на запрос.

Для ориентира: туториал Codeforces по блочному RMQ описывает структуру, которая отрабатывает запрос за 100 нс для массивов длины с 32-битными целыми числами, при этом используя дополнительных бит.

┼┼┼┼┼┼┼┼┼▄▀▀▀▄▄▄▄▄▄▄▀▀▀▄┼┼┼┼┼┼┼┼
┼┼┼┼┼┼┼┼┼█▒▒░░░░░░░░░▒▒█┼┼┼┼┼┼┼┼
┼┼┼┼┼┼┼┼┼┼█░░█░░░░░█░░█┼┼┼┼┼┼┼┼┼
┼┼┼┼┼┼─▄▄──█░░░▀█▀░░░█──▄▄─┼┼┼┼┼
┼┼┼┼┼┼█░░█─▀▄░░░░░░░▄▀─█░░█┼┼┼┼┼
┼┼┼██░██░████░██░░░██░░░█████┼┼┼
┼┼┼██▄██░██▄▄░██░░░██░░░██░██┼┼┼
┼┼┼██▀██░██▀▀░██░░░██░░░██░██┼┼┼
┼┼┼██░██░████░████░████░█████┼┼┼

Для строительства компиляторов, нам нужны начала математики. Из них, как мы убедимся, проистекает добрая половина понимания и всех наших работ.
В частности, без начал не понять лямбда-исчисление Чёрча, которое мы применим на этапе работы с AST. Рассмотрим элементы дискретной математики с примерами на С, JavaScript, SQL.

Доброго времени суток . Спасибо всем заинтересовавшимся моей статьей. Задача коммивояжёра — одна из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Её суть заключается в поиске самого выгодного маршрута, который проходит через указанные города по одному разу с последующим возвратом в исходный город. Уже при небольшом числе городов >20 задача не может быть решена методом перебора вариантов за приемлемое время.

Для решения задачи коммивояжёра существует большое количество методов и алгоритмов, самые распространённые — поисковые алгоритмы. Лидеры среди них — генетические алгоритмы и алгоритмы колонии муравьёв.

Я придумал свой вариант.

В статье «Сравнение производительности генетических алгоритмов и муравьиных алгоритмов применительно к задаче коммивояжера Авторы: Sabry Ahmed Haroun, Benhra Jamal, El Hassani Hicham Лаборатория LISER, ENSEM, UH2C Касабланка, Марокко.» от May 2015. Приводятся результаты тестов. Генетический алгоритм был разработан на C++. Муравьиный алгоритм оптимизации был написан на C#.

В 1931 году, обратив логику против самой себя, Курт Гёдель доказал пару теорем, которые изменили представление о знании и истине. Эти «теоремы о неполноте» установили, что ни одна формальная система математики — ни одно конечное множество правил или аксиом, из которых, как предполагается, вытекает всё остальное, — не может быть полной. Всегда будут существовать истинные математические утверждения, которые логически не вытекают из этих аксиом.

Первые недели пандемии Covid я провела, изучая, как 25-летний австрийский логик и математик сумел этого добиться, а затем написала краткое изложение его доказательства объёмом менее 2000 слов.

Но даже после того, как я разобралась в этапах доказательства Гёделя, я не была уверена, как именно следует трактовать его теоремы, которые обычно понимаются как исключающие возможность существования математической «теории всего». И я такая не одна. В книге «Доказательство Гёделя» (классическом труде 1958 года, на который я в значительной степени опиралась при написании своей статьи) философ Эрнест Нагель и математик Джеймс Р. Ньюман писали, что смысл теорем Гёделя «до конца не постигнут».

Возможно, это и так, но с тех пор прошло шесть десятилетий. На каком этапе мы находимся сегодня с этими идеями? Недавно я попросила логиков, математиков, философов и одного физика обсудить смысл теорем о неполноте. У них было много чего сказать о последствиях этого странного интеллектуального достижения Гёделя и о том, как оно изменило ход бесконечного поиска истины человечеством.