Как стать автором
Обновить
231.01

Математика *

Царица всех наук

Сначала показывать
Порог рейтинга
Уровень сложности

Метафизика мнимой единицы

Уровень сложностиСложный
Время на прочтение14 мин
Количество просмотров1.6K

Прочитав [1], хотя это и не академический материал, очень впечатлился идеей того, что мнимая единица i кодирует направление. Дело в том, что если мы имеем в формуле два скаляра, которые запрещено складывать и это - в математике, которая запросто суммирует апельсины с помидорами, происходящее должно нести какой-то смысл. Но математика не кодирует смыслов, поэтому из идеи комплексных чисел мы можем знать лишь то, что смысл в принципе существует. Найти же категориальное различие для такой фундаментальной математической абстракции, как комплексные числа - отдельная большая удача и исследование такой возможности может оказаться перспективным.

Читать далее

Новости

Когда 42 — это цифра: шумеро-вавилонская система счисления с глиняных табличек

Уровень сложностиСложный
Время на прочтение9 мин
Количество просмотров2K

На древних глиняных табличках из Месопотамии встречаются математические тексты с достаточно сложными вычислениями. Кроме прочего, для записи чисел использовалась шестидесятеричная система, которая имеет существенное «компьютерное» преимущество перед современной десятичной. Посмотрим, как можно считать в клинописных «галках» и «палках», как записывать дроби, и что это даёт в сравненнии не только с десятичной, но и с шестнадцатеричной системой.

Читать далее

Из жизни аффинных треугольников

Уровень сложностиСредний
Время на прочтение8 мин
Количество просмотров865

Из обсуждений недавней статьи "Пара слов об алгебре интервалов" видно, что основное затруднение вызывает понимание основных объектов, лежащих в основе аксиоматики - точка, интервал, граница, вектор. Здесь мы поднимем размерность и рассмотрим двумерные интервалы. Обычно более общая задача помогает лучше понять частный случай, которым по отношению к двумерным интервалам являются рассмотренные ранее одномерные. В этот раз поменяем акценты - будет мало формул и много картинок.

Итак, как мы выяснили, мерность интервала зависит от количества задающих его границ (а не от количества базисных точек). В одномерном случае достаточно двух границ, соответственно в двумерном, видимо, должно быть достаточно трех.

Встречайте!

Лучшие алгоритмы 20 века по версии SIAM

Уровень сложностиСредний
Время на прочтение19 мин
Количество просмотров5.4K

На рубеже веков SIAM опубликовали список из 10 алгоритмов, оказавших наибольшее влияние на науку и индустрию в 20 веке (по мнению редакции), четверть века спустя по меньшей половина из этого списка до сих пор используется повсеместно. В статье вспомним что это за алгоритмы и за что они получили такое признание. Обсудим и алгоритмы, которые в этот список не вошли, но вполне могли бы, о чем читатели хабра написали в комментариях к статье "10 лучших алгоритмов 20 века". В конце статьи опрос, пожалуйста, не проходите мимо и отметьте или напишите в комментариях, какие алгоритмы на ваш взгляд должны были оказаться в этом списке!

Читать далее

Всё, что нужно знать о своих планах, случайностях и стохастическом программировании

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение13 мин
Количество просмотров2.1K
Все мы прекрасно знаем, что очень часто наши планы идут не по плану именно из-за случайностей. В такие моменты очень трудно обойтись без жаргонизмов, нецензурной брани и отборного трехэтажного. Но все же есть способ сделать наши планы более устойчивыми и состоятельными — это стохастическое программирование (далее SP — stochastic programming).


Читать дальше →

Ещё один множительный прибор, связанный с теоремой Слонимского (который я «восстановил», не видя его)

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение8 мин
Количество просмотров1.3K

На Хабре была опубликована статья [1], в которой описывался прибор для умножения многозначного числа сразу на все множители от 2 до 9 – так называемые «бруски Иофе», предложенные в 1881 году Гиршем Залмановичем Иофе. В статье говорилось, что это был один из двух вычислительных приборов, в основе устройства и работы которых лежит теорема Слонимского. Сразу же замечу, что если быть точным, то речь должна идти не о теореме Слонимского, а о следствии из неё – так называемой «полной таблице Слонимского» (о ней – ниже).

Мне стало известно, что в Музее науки в Лондоне имеется экспонат «Filipowski's calculating rods (56)»/«Счётные стержни Филиповского (56)» (рис. 1) (https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co60566/filipowskis-calculating-rods-56),

который, как выяснилось, также связан с указанной таблицей:

 

Читать далее

Аспирант решил классическую задачу о пределах сложения

Уровень сложностиСредний
Время на прочтение8 мин
Количество просмотров6.3K

Самые простые идеи в математике одновременно могут быть и самыми сложными.

Возьмём, к примеру, сложение. Это простая операция: одна из первых математических истин, которую мы узнаем, гласит, что 1 плюс 1 равно 2. Но у математиков до сих пор остаётся много вопросов о том, к каким закономерностям может привести сложение. «Это одна из самых простых вещей, которые можно сделать», — говорит Бенджамин Бедерт, аспирант Оксфордского университета. «Но почему-то она до сих пор остаётся во многом загадочной».

Исследуя эту загадку, математики также надеются понять пределы возможностей сложения. С начала XX века они изучают природу «свободных от сумм» множеств — наборов чисел, в которых сумма никаких двух чисел не окажется равным третьему числу из этого множества. Например, сложите любые два нечётных числа и получите чётное число. Таким образом, множество нечётных чисел свободно от сумм.

Читать далее

Винтик и Шпунтик, часть 3: лемма Бернсайда и генерация орбит

Уровень сложностиСредний
Время на прочтение26 мин
Количество просмотров1.2K

Это третья часть моих наработок по решению задачи Винтика и Шпунтика в рамках челленджа @vvvphoenix. В прошлой части мы хорошо так свернули формулу включений-исключений для ускорения вычисления ответа. В этой части мы дополнительно ускорим вычисление, разбив слагаемые формулы на классы эквивалентности, где в каждом классе слагаемые одинаковые и их надо будет вычислять только один раз. В этом нам поможет комбинаторная теория групп и её применение в задачах о раскрасках. По большей части эта статья содержит общую теорию решения подобных задач, так что эта информация может быть полезна и вне контекста задачи про Винтика и Шпунтика.

Читать далее

Сложение с подвохом: что мы до сих пор не понимаем в 1 + 1? Гипотеза Эрдеша о множествах без суммы

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение8 мин
Количество просмотров4.8K

Возьмём, к примеру, сложение. Одна из первых истин, которые мы усваиваем: 1 плюс 1 — это 2. Казалось бы, операция элементарная. Но даже она продолжает порождать у математиков вопросы без чётких ответов. Какие глубинные закономерности заложены в сложении? — до сих пор остаётся открытым. «Это фундаментальная операция, — отмечает Бенджамин Бедерт, аспирант Оксфорда, — и тем не менее в ней до сих пор много загадок».

В попытке разобраться в природе сложения, математики заодно пытаются установить его предельные границы. С начала XX века они изучают особый класс чисел — так называемые бессумные множества, в которых ни одна пара чисел не даёт в сумме третьего из этого же множества. К примеру, любое два нечётных числа в сумме дают чётное, значит, все нечётные образуют бессумное множество.

В 1965 году математик Пол Эрдёш задал на первый взгляд скромный вопрос: насколько часто встречаются такие бессумные множества? Ответ на него оказался крайне непростым — десятилетиями в решении этой задачи почти не наблюдалось прогресса.

Читать далее

SRP ч2, Уравнение рендеринга. Функции освещения

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение6 мин
Количество просмотров1.2K

В этой статье я подробно опишу уравнение рендеринга, а также функции освещения для разных типов источника света. В том числе, как аналитически рассчитать освещение от полигонального источника света.

Читать далее

Жребий брошен: оптимальная генерация распределений и алгоритм Кнута-Яо

Уровень сложностиСредний
Время на прочтение8 мин
Количество просмотров2.5K

Задача
Три айтишника — Маша, Вася и Петя — пошли в поход. После ужина они решают, кто будет мыть посуду. Петя дежурит один, а Маша с Васей — вдвоём. Значит, нужно выбрать Петю с вероятностью ⅓, а Машу с Васей — с вероятностью ⅔. Под рукой — только честная монетка. Как с её помощью устроить такой жребий?

Когда мы обсуждали эту задачу со студентами, они предложили такой способ. Бросим монету дважды: если выпали два орла — дежурит Петя; если один орёл и одна решка — Маша с Васей; если две решки — перебрасываем

Чтобы выбрать дежурного так, в среднем уходит 8⁄3 броска (чуть позже мы это докажем). Можно ли сделать это быстрее? Существует ли алгоритм, для которого ожидаемое число бросков меньше?

Оказывается, можно придумать простой, но неочевидный метод, позволяющий смоделировать событие с вероятностью ⅓ — и в среднем требует не больше двух бросков. Он называется алгоритмом Кнута–Яо

В этой статье мы пройдём весь путь к этому алгоритму. Начнём с базовых методов, поймем, сколько бросков они требуют в среднем, и найдём границу, быстрее которой не может работать никакой алгоритм. А затем построим тот, который этой границы достигает — оптимальный для вероятности ⅓

В финале мы обобщим эту идею: научимся моделировать любую вероятность p от 0 до 1 — и любое дискретное распределение. Заодно познакомимся с важным понятием, называемым энтропией

А в самом конце, как всегда — красивая задача

Читать далее

Прибыль на лезвии проектного финансирования: что застройщику учитывать в ценообразовании, чтобы всегда выжимать максимум

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение6 мин
Количество просмотров687

В предыдущих статьях мы обосновали отсутствие детерминированной кривой спроса в недвижимости и показали, как застройщики могут использовать данные о продажах для динамического ценообразования (ДЦО) своих проектов. Мы пришли к выводу, что для решения задач ДЦО необходимо определять оптимальный темп продаж вместе с ценой, которая этот темп обеспечит.

В этой статье мы разберём самое интересное: как это сделать, и какие критерии необходимо учесть, чтобы ДЦО действительно приносило прирост ключевых финансовых метрик.

Читать далее

Как создать свой Perplexity: Архитектура AI для глубокого исследования на Next.js и OpenAI

Время на прочтение24 мин
Количество просмотров2.4K

Многие программисты в ближайшие годы потеряют работу из-за ИИ. Ваша задача — самому стать тем, кто строит Perplexity, а не тем, кто только ими пользуется.

К концу статьи у вас будет четкое понимание того, как построить self-hosted SaaS для глубокого исследования, который можно встроить в любой продукт.

Переходите, копируйте репозиторий, поднимайте и вы сможете в полном мере насладиться экспериментами и изучить логи.

Читать далее

Ближайшие события

Математика как язык Вселенной: почему она так эффективна?

Время на прочтение7 мин
Количество просмотров1.6K

Когда мы смотрим на звёзды, изучаем движение планет или анализируем поведение атомов, мы сталкиваемся с удивительным фактом: математика, созданная человеческим разумом, с поразительной точностью описывает реальность. От уравнений Ньютона, предсказывающих траектории небесных тел, до Квантовой механики, раскрывающей тайны микромира, математика кажется универсальным ключом к пониманию Вселенной. Но почему она так эффективна? Является ли математика изобретением человечества или открытием, отражающим фундаментальную структуру космоса? Этот вопрос, впервые сформулированный физиком Юджином Вигнером как "необъяснимая эффективность математики", затрагивает не только науку, но и философию, заставляя нас задуматься о природе реальности и нашего места в ней.

Читать далее

Отсутствие оснований и аксиома Бога

Уровень сложностиСредний
Время на прочтение18 мин
Количество просмотров2.4K

В рамках этого эссе мы с вами окунёмся в самые глубокие вопросы философии математики, разберём несколько подходов к доказательству теорем и поразмышляем над тем, как счётные бесконечности и аксиома выбора в теории множеств вместе с теоремами Гёделя о неполноте и гомотопической теорией типов связаны с этикой, философией, поиском смысла жизни и теологией.

Читать далее

О векторном вычислении экспоненциальной функции

Уровень сложностиСредний
Время на прочтение5 мин
Количество просмотров2.8K

Как вычислить экспоненциальную функцию быстро и с минимальной погрешностью? Пишем векторизованный код.

Читать далее

Будущее ИИ — формальные грамматики

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение19 мин
Количество просмотров1.6K

Почему даже самая мощная LLM иногда выдаёт бессмысленные фразы и противоречия? Всё дело в экспоненциальном росте вариантов (N^M) и свободном копировании человеческих ошибок. Читайте статью, чтобы узнать, как мы с помощью формальных грамматик превращаем хаотичную генерацию в управляемый синтез, усиливая роль семантики и соблюдая структурные правила.

Читать далее

Метод кросс-энтропии: простейшая эвристика для сложнейших задач

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение22 мин
Количество просмотров2.8K
Сколько эвристик вы знаете? Муравьи, отжиг, генетика, рой частиц, пчелы, светлячки, кукушки, гуси, совы, летучие мыши, осьминоги, дельфины, киты, шимпанзе, гориллы, львы, слоны, гравитация, электромагнетизм, вода, музыка… количество эвристик уже давно перевалило за полсотни. Все они вдохновлены природными процессами и явлениями, что делает их наглядными и понятными.

Но есть и строго математические методы, например, Байесовская (регрессия Гаусовских процессов) или информационно-геометрическая. Однако, есть один математический метод, выделяющийся на фоне абсолютно всех эвристик своей невероятной простотой и гибкостью, которая оказывается незаменимой в решении самых сложных комбинаторных задач и задач стохастического программирования — это метод кросс-энтропии.
Читать дальше →

Об ошибках округления и способах борьбы с ними

Уровень сложностиСредний
Время на прочтение6 мин
Количество просмотров4.6K

Почему при сложениии одинаковых чисел в разном порядке получаются разные результаты?
Как мининмизировать ошибки округления или избавиться от них совсем?

Читать далее

Пара слов об алгебре интервалов

Уровень сложностиСложный
Время на прочтение10 мин
Количество просмотров3.7K

Интервалы, интервалы,‑ где тут лево, где тут право...

Многие программисты в том или ином виде сталкиваются с интервалами при написании программ. Даже если об этом и не подозревают. Действительно, любой сможет написать код, который определяет, принадлежит ли некое число заданному интервалу или нет. И даже чуть более сложный - определить область пересечения двух интервалов-отрезков.

На практике однако встречаются и более сложные задачи. Допустим, например, что в некой гостинице есть два свободных номера. Но один свободен со 2-го по 5-е число, а второй - с 6-го по 10-е. Клиент интересуется, есть ли возможность поселения на 8 дней? Правильный ответ - "да, есть, но с переселением (лесенкой)". Для такого ответа программа должна уметь распознать, что интервалы [2, 5] и [6, 10] являются смежными , а значит, их можно сложить, получив общий доступный интервал [2, 10], длина которого (9) превышает запрашиваемый.

Другая более редкая, но и более интересная задача - определить область пересечения двух множеств интервалов. Сложность в том, что количество интервалов в сравниваемых множествах может быть произвольным. Программист, который умеет только в сравнения "на меньше/больше" (или даже в between), столкнется при реализации с трудностями формализации.

В данной статье мы сфокусируемся на выводе формулы пересечений множеств интервалов. Опираться будем на линейную алгебру и ее объекты - векторы и формы. Кому интересен в первую очередь итоговый результат, - могут сразу двигать в конец, не вникая в промежуточные выкладки.

Поехали!
1
23 ...

Вклад авторов