Математика *

Сколько глаз у человека? Два.

А в сфере машинного обучения модели умеют видеть любую сразу тысячей или миллионами глаз. Мы живем в 3-х мерном пространстве(3D), и видим 2-х мерную картину мира. Модель, в свою очередь, обитает в цифровом пространстве. Она может видеть ваши 2D фото, 3D модель в Blender сразу со всех сторон и спокойно построить параллелепипед в 15D. 

Мы отлично ориентируемся в двух измерениях, немного хуже в трех, а дальше - ВСЁ. 
То, что вышло за пределы привычного куба, перестает быть геометрией в нашем земном понимании. 

Тем не менее нам приходится анализировать результаты работы моделей, для принятия соответствующих решений. Как это делать? Для этого многомерное пространство приходится каким-то образом «свернуть» в обычную плоскость, сохранив как можно больше информации о взаимном расположении точек.

Для этой задачи разработаны специальные алгоритмы. Самыми известными из них сегодня стали PCA, t-SNE и UMAP. Несмотря на схожий результат в виде разноцветной двумерной карты, внутри они основаны на разных математических идеях.  И сегодня мы узнаем на каких

В данной статье в качестве криптоанализа Биткоина разберём вычислительный научный эксперимент, воспроизводящий и расширяющий наблюдение John Zweng (2025) относительно точек-генераторов G семейства кривых Коблица SEC 2 — secp160k1, secp192k1, secp224k1 и secp256k1.

Обнаруженная закономерность: для всех кривых Кобица простого порядка семейства SEC 2 (secp160k1, secp192k1, secp224k1, secp256k1) точка, получаемая «делением» генератора G на 2 (умножением на обратный элемент 2 по модулю порядка подгруппы n), имеет x-координату аномально малой битовой длины и содержит общую 152‑битную гексадецимальную подстроку 8ce563f89a0ed9414f5aa28ad0d96d6795f9c6. Мы даём математическую формализацию операции, воспроизводим вычисления с помощью открытых скриптов на Python/SageMath, обсуждаем историческую непрозрачность стандарта SEC 2, а также — в отдельных разделах — протокольные следствия для Bitcoin, включая принципы NUMS-точек, аудит вторичных генераторов и безопасность ECDSA/Schnorr. Особое внимание уделяется практическим скриптам для Google Colab, которые позволяют каждому исследователю независимо верифицировать находку.

Johannes Zweng известный в GitHub в своём архиве прямо ссылается на выступление криптографа Nadia Heninger, посвящённое открытым вопросам происхождения стандартных кривых, как на дополнительный источник контекста для данной аномалии. Хенингер является одним из ведущих специалистов по практическому криптоанализу реализаций ECC/RSA (в частности, известна работами по атакам на слабую случайность при генерации ключей), и её внимание к теме подчёркивает значимость подобных архивных находок для сообщества академической криптографии.

23 июля Прабханджан Анант (Калифорнийский университет в Санта-Барбаре) и Амит Сахаи (UCLA) выложили на arXiv статью "Unconditional Unclonable Encryption", которая закрывает проблему, стоявшую перед квантовыми криптографами шесть лет. Но не меньше самого результата обсуждают короткий раздел в конце введения: конструкция и основные идеи доказательства были целиком сгенерированы агентом Codex на модели GPT-5.6 Sol Ultra.

Можно ли построить демона — наблюдателя, который знает состояние системы настолько точно, что будущее для него так же очевидно, как прошлое?

Есть код, который физики передают друг другу с 2002 года. Кристиан Мэтцлер из Бернского университета написал набор MATLAB‑функций для расчёта рассеяния Ми, физики, из‑за которой небо голубое, а молоко белое. В 2009-м Стивен Жак обернул его для тканевой оптики, и с тех пор эти полторы сотни строк разошлись по тысячам работ, от атмосферных исследований до лазерной медицины.

Как известно, гипотеза Пуанкаре на сегодня является единственной решённой задачей тысячелетия.

Её формулировка довольно проста:Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

В этой статье мы создадим простенькую компьютерную визуализацию основных пунктов  упрощённого доказательства.

Что происходит под капотом, когда вы вызываете scipy.stats.norm.fit()? В статье рассматриваются два классических подхода точечного оценивания параметров — метод моментов и метод максимального правдоподобия — с математическими выводами, экспериментами на Python и визуализацией.

В данной статье разбирается несколько способов вывода формулы кросс-энтропии, а также попытки сформировать интуиции относительно ее сути.

Привет, Хабр. Меня зовут Тянчи Ю, я работаю младшим научным сотрудником в группе «Вычислительный интеллект» AIRI и учусь на четвёртом году аспирантуры Сколтеха. Мои научные интересы включают научное машинное обучение и численный анализ, а также применение этих инструментов к задачам вычислительной математики.

Думаю, никому из читателей не нужно объяснять, почему уравнения в частных производных столь важны. Их приходится постоянно решать для моделирования физических, инженерных и финансовых систем — причём быстро и с высокой точностью. Однако с ростом размерности задачи вычислительная стоимость классических численных методов стремительно увеличивается.

Спектральные методы обеспечивают исключительно высокую точность в задачах малой размерности. Методы на основе нейронных сетей, напротив, лучше подходят для многомерных задач, но часто уступают с точки зрения точности и эффективности. В 2024 году мы предложили подход, объединяющий преимущества этих двух направлений: спектрально‑информированную нейронную сеть (Spectral Informed Neural Network, SINN). С тех пор нам удалось его усовершенствовать.

Недавно на конференции ICML 2026 мы представили статью, посвящённую новому методу (она, к слову, получила там Spotlight). Здесь же я хотел бы кратко рассказать, что именно мы сделали.

В ночь после финала чемпионата мира по футболу математик Левент Альпёге опубликовал в X сообщение, которое начинается словами "всем привет, гипотеза якобиана ложна". Дальше — благодарность "близкому другу Ахилу" за наводку на задачу и "близкому другу Fable", работавшему над ней во время финала, формула отображения из C³ в C³ и три точки, которые оно переводит в одну. Ни статьи, ни препринта, ни пресс-релиза: заявление о падении математической гипотезы с 87-летней историей уместилось в один твит.

Жизнь за счёт света — опасная игра. Солнечные лучи не только несут ультрафиолетовые волны, способные разрывать цепи ДНК и разрушать молекулы, но и резко меняют свою интенсивность. Растениям приходится выживать и процветать как в мягком утреннем свете, так и в палящем летнем солнце, то находясь в тени, то под прямыми лучами. Солнечная энергия поступает к ним то тонкой струйкой, то мощным потоком.

«Представьте себе, что облако закрывает солнце, а потом вдруг уходит, и солнечный луч попадает на лист, — говорит Нико Шрамма, биофизик из Медицинского центра Амстердамского университета. — Что-то должно произойти, потому что интенсивность может измениться в сто раз».

Растения не пассивны. Они реагируют на окружение соответственно. Они могут переориентироваться, поворачивая листья и стебли в поисках солнечных лучей или тени, но этот механизм работает в масштабе минут или часов. Для более тонких реакций необходимо, чтобы их клетки также мобилизовались. Внутри каждой растительной клетки находятся хлоропласты — органеллы в форме дисков, которые преобразуют солнечный свет в сахара. И хотя растения вынуждены оставаться в основном неподвижными, хлоропласты — нет.

В одной из предыдущих статей https://habr.com/p/1016120/ мы рассчитали температурное поле T(r, z, t)  круглой конфорки аналитическими методами. В этой статье мы сделаем его компьютерную визуализацию.

Всех приветствую.
Я занимаюсь изучением темы машинного обучения и столкнулся с проблемой отсутствия нормальной, понятной информации по той или иной теме. Сегодняшнюю тему я изучал более 4,5 часов — и у меня просто сгорело, ведь нигде в лёгком доступе нет этой простой темы. Я собрал всё до кучи. Надеюсь, я буду последним, кто затупил на этом моменте. Если найдёте ошибки — прошу в комментарии.

Подробный гайд о приведении матрицы к Жордановой нормальной форме. В отличии от учебника в статье разбираются также причины рассматривать используемые идеи, а также логическая подводка к ним

5-карточный стад — логическая головоломка из игры Puzzle Hunt Мельбурнского университета 2015 года, в которой участникам предлагалось заполнить прямоугольную сетку с помощью комбинаций карт из покера.

Игра Puzzle Hunt представляет собой ежегодный квест, цель которого — первыми обнаружить "сокровища", спрятанные где-то на территории кампуса. Задания игры не содержат инструкций. Вместо этого участникам дается сюжет, который постепенно развивается, и в который встраиваются головоломки. Завершает игру мета-задание, в котором требуется некоторым образом скомбинировать все решения предыдущих заданий, чтобы получить финальный ответ, ведущий к расположению "сокровищ".

Сегодня практически любую задачу компьютерного зрения пытаются решить нейронной сетью. Геометрическая ректификация документов — не исключение: современные модели умеют распрямлять даже скомканные листы бумаги.

Реальность устроена иначе: никто не комкает деловые документы перед распознаванием, гораздо чаще их просто складывают пополам или втрое для удобства хранения или транспортировки. Поэтому большие нейросетевые модели на самом деле представляют скорее лишь научный интерес, а для практических целей куда полезнее придумать простой, но эффективный и быстрый алгоритм. 

В Smart Engines мы пошли другим путем: вместо универсальной нейросети построили математическую модель документа, сложенного втрое. В результате получили алгоритм, который не только превосходит современный геометрический трансформер DocTr по качеству, но и работает до 60 раз быстрее.

В этой статье мы расскажем, как работает наш подход, зачем нам понадобилась школьная проективная геометрия и каким образом она обеспечивает нам неразрывность ректифицированного изображения.

В 1947 году Пол Эрдёш, венгерский математик-передвижник, представил то, что впоследствии стало одним из самых мощных инструментов математики. Он хотел доказать существование определённого вида объектов — в данном случае сети, состоящей из взаимосвязанных узлов. Но, как ни странно, в его доказательстве не указывалось, как именно её построить. Вместо этого он показал, что если рассмотреть все возможные сети и выбрать одну из них наугад, вероятность того, что вы найдёте сеть с нужным свойством, больше нуля. Это означает, что искомая сеть где-то существует, даже если вы почти ничего о ней не знаете.

Подход Эрдёша, известный как вероятностный метод, был простым, но революционным. До его появления «если бы я заявил, что определённые объекты должны существовать, вы бы ответили: „Покажите мне такой объект“, — сказал Бенни Судаков, математик из Швейцарской федеральной политехнической школы в Цюрихе. — Но некоторые объекты настолько необычны, что нам трудно даже представить, что они вообще существуют».

Метод Эрдёша преодолел эту трудность, продемонстрировав, что случайность можно использовать способами, о которых математики и не подозревали. «Тогда было просто поразительно, что случайность можно использовать таким образом, — сказал Джоэл Спенсер из Нью-Йоркского университета. — Теперь это стало базовым подходом».

Герои этих романов живут в окружении цифр и понимают их зачастую куда лучше, чем окружающих. Собрала очень разные книги: психологическую семейную прозу, детектив и даже почти мелодраму. Итого две книги посложнее и две книги полегче.

«Журавлёв в небе», Андрей Гуртовенко

Как автор сказал в интервью на радио, проза позволяет показать больше, чем кино: и он сам погружает читателя в мир порядка и хаоса в голове героя. Цифры с детства сопровождают будущего талантливого ученого Виктора Журавлёва, он (отчасти из любопытства) выигрывает олимпиады, решает задачки, покоряет один школьный предмет за другим. Это – просто. Контролируемая часть жизни.

Но есть и броуновское движение, с которым он не всегда умеет взаимодействовать: проявляющая к нему интерес одноклассница, замалчивания в семье, бытовые сложности (как запомнить, включен или выключен утюг? заперта ли дверь?), взрослеющий сын, отказывающийся говорить по-русски после возвращения из Великобритании.

Герой проецирует свой ученый взгляд и на мир: однажды, стоя на платформе в метро, он ощущает себя будто на поверхности клетки, «посреди снующих вокруг него липидных молекул».

Тензор пространства - звучит очень загадочно и очень непонятно. Но на самом деле ничего сложного. Тензор пространства - матрица, набор чисел, которые определяют структуру пространства. Они буквально задают каким будет пространство, что и как в нём должно двигаться. Все изменения, которые мы видим вокруг, начиная от падения яблока до столкновения черных дыр определяет небольшой набор чисел. Причем числа эти нули и единицы, подобранны таким образом, что мы оказываемся заточенными в бесконечном пузыре, из которого не выбраться. Как рыбки в аквариуме. Ну у рыбок есть шанс удрать из аквариума, а вот у нас его скорее всего нет. Но давайте по порядку.

Рассмотрим следующую задачу:Дан постоянный магнит некоторой формы и нужно получить аналитическое выражение для его магнитного поля B в трёхмерном пространстве.Разберём несколько случаев.Будем считать магнит однородным.