Математика *

Утром во вторник, 8 сентября, математики из OpenAI объявили, что группа из 10 000 автономных ИИ‑агентов под их руководством, работавших на продвинутой модели, недоступной широкой публике, обнаружила «сингулярность» в трёхмерных уравнениях Навье — Стокса. Тем самым была решена одна из шести остававшихся нерешёнными задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя. За решение каждой из них назначена премия в $1 млн. Результат был формально проверен на языке программирования Lean, что даёт математикам основания считать его правильным.

Если результат выдержит дальнейшую проверку, то с большим отрывом станет самым важным математическим доказательством, полученным на сегодняшний день с помощью модели искусственного интеллекта. Возможно, он знаменует фундаментальный перелом в том, как математики будут подходить к сложным задачам.

Эта конкретная сложная задача касается дифференциальных уравнений, которые выражают взаимосвязи между изменяющимися величинами. Пожалуй, это важнейший математический инструмент для объяснения окружающего мира. Как правило, такие уравнения легко записать, но трудно решить.

Уравнения Навье — Стокса представляют собой дифференциальные уравнения, которые на основе второго закона Ньютона описывают поведение жидкостей и газов, от океанических течений до воздушных потоков. Впервые их записали в середине XIX века, и с тех пор они играют центральную роль в механике жидкости. Однако один фундаментальный вопрос об этих уравнениях оставался без ответа: всегда ли их решения ведут себя «хорошо»? Или со временем решение может эволюционировать таким образом, что какая‑то бесконечно малая часть жидкости начнёт двигаться с бесконечно большой скоростью, создавая так называемую сингулярность?

Представьте типичный понедельник в отделе закупок производственного предприятия. Пришло пять коммерческих предложений на одну и ту же позицию – допустим, нужен стандартный компонент, который регулярно идёт в производство. Менеджер открывает таблицу, смотрит на столбец «Цена за штуку» и выбирает минимум. Это занимает десять минут. Решение кажется очевидным.

Через три недели выясняется, что на складе лежит втрое больше компонентов, чем нужно. Поставщик с самой низкой ценой работает только от крупной партии, а об этом менеджер не подумал, когда смотрел на цифру за штуку. Деньги заморожены на складе. Оборотные средства иммобилизованы. Реальная стоимость единицы нужного товара оказалась не самой низкой, а самой высокой среди всех предложений.

И это не исключение – это норма для большинства предприятий, где выбор поставщика до сих пор делается вручную, на глазок, без формализованной процедуры. Хуже того: даже если менеджер учитывает партионность, он всё равно не учитывает историю взаимодействия – сколько раз поставщик привозил вовремя, сколько раз приходилось оформлять рекламацию. Эта информация хранится в ERP-системе, но почти никогда не используется для принятия решений.

В этой статье мы разберём математическую модель, которая закрывает оба пробела. Три критерия – приведённая стоимость закупки с учётом минимальной партии, срок поставки и интегральный уровень доверия к поставщику, вычисленный из данных ERP. Один алгоритм, реализованный в Engee на языке Julia. И числовой пример, где поставщик с самой низкой каталожной ценой закономерно оказывается наихудшим выбором – а модель это выявляет автоматически.

Всем привет!

В этой статье я расскажу о своих рассуждениях и расчётах, а также рассмотрю различные подходы к маршрутизации электрокаров с учётом внешних условий и подходящих зарядных станций для их последующего бронирования. Возможно, этот материал окажется полезным и поможет вам в реализации собственных проектов.

Недавно мне пришлось объяснять племяннику простейшее 2x + 4 = 10. Я уже собирался произнести школьное «переносим четвёрку вправо с противоположным знаком», но внезапно поймал себя на вопросе: а почему она вообще должна менять знак?

Если ребёнок воспринимает = как портал, через который числа проходят и магически меняют свойства, возможно, проблема не в математике, а в способе её объяснения.

Из этого вопроса вырос MathRoots — мой эксперимент с математикой как dependency graph: от ответа можно проваливаться вниз до операций, свойств и совсем фундаментальных понятий, искать root cause ошибки, визуализировать формулы и спрашивать у каждого шага: «Почему я вообще могу это сделать?»

В статье покажу, во что превратилось обычное 2x + 4 = 10, зачем математике debugger, причём тут AST и как всё это в итоге доросло до React, AI и Docker.

Новый скандал, на этот раз на стыке матана и AI: кожаные математики насмерть сцепились с вооруженными нейронками бигтехами за титул «Решивший Задачу Тысячелетия». OpenAI, по сути, обвиняют в том, что они украли чужую идею решения из пользовательской сессии Codex.

Идущий в составе iOS калькулятор показывает округлённый результат. Constructive Calculator всегда готов показать следующую значащую цифру, так же, как калькулятор Android.

Предположим, что вы участвуете в игровом шоу, известном тем, что все его участники рассуждают совершенно логично. Вы и другой участник стремитесь согласовать свои действия, чтобы выиграть главный приз. А именно, вам нужно действовать сообща так, чтобы одновременно назвать один и тот же цвет.

Вас и другого участника по отдельности проводят в ваши личные комнаты, в каждой из которых есть стол и оборудование для обмена сообщениями. Игра проходит по раундам, в каждом из которых вы действуете одновременно. В каждом раунде каждый из вас независимо выбирает одно из двух действий: либо завершить игру и официально назвать свой цвет, либо отправить сообщение другому участнику. Сообщение может быть практически сколь угодно длинным, при условии, что его можно набрать за разумное время. Участники изолированы друг от друга, и во время раунда ни один из них не знает, какое действие другой выберет в этом раунде, пока оно не будет совершено. Сообщения доставляются сразу после завершения раунда. У каждого участника есть лишь одна возможность завершить игру и назвать цвет - поэтому важно не ошибиться!

Если в каком-либо раунде оба участника завершают игру и называют в точности один и тот же цвет, то оба выигрывают главный приз. Но если названные цвета различаются или если только один участник решает в этом раунде завершить игру и назвать цвет, то оба проигрывают, и игра заканчивается.

Скоро начнется раунд 1. Что вы будете делать?

27 апреля 1983 года аделаидская газета Advertiser опубликовала статью под заголовком «Маленький Теренс, 7 лет, вундеркинд средней школы».

Статья рассказывала о местном мальчике, который 40% времени проводил в 11 и 12 классах, изучая физику и математику, а потом возвращался в 5-й класс начальной школы.

Современные геометрические формулировки релятивистской физики обычно начинают с уже готовой структуры пространства-времени. В специальной теории относительности исходно задаётся четырёхмерное пространство с лоренцевой метрикой; в общей теории относительности метрика становится динамической, но само различие времеподобных, пространственноподобных и светоподобных направлений по-прежнему входит в фундаментальное описание через локальную сигнатуру пространства-времени. Электромагнитное поле затем определяется на этом геометрическом фоне как дополнительный объект – 2-форма, антисимметричный тензор или бивектор.

Такая последовательность математически чрезвычайно эффективна, однако оставляет открытым более ранний вопрос: почему физическая геометрия вообще должна начинаться именно с лоренцева пространства-времени?

В древней стране Философии существует правящий совет философов, члены которого строго упорядочены по степени власти и престижа. Различные привилегии также распределяются в соответствии с этим рангом. Философ 1 - признанный философ-царь и самый могущественный член совета, за ним следует философ 2 и так далее.

Пришло время сформировать новый совет. Согласно давно установленной процедуре, философ с самым низким рангом предлагает новый состав совета и распределение мест в нем. В принципе, в предложенный совет может войти любой гражданин Философии - круг кандидатов не ограничен членами нынешнего совета. Хотя, как ни странно, обычно новый совет все же состоит из членов предыдущего. После выдвижения нового предложения совет голосует. Если большинство голосует за, предложенный состав и распределение мест утверждается. В противном случае философ с самым низким рангом исключается из совета, а предложение выдвигает следующий философ с конца. Этот процесс продолжается до тех пор, пока новый состав совета и распределение рангов не будут одобрены.

Я называл членов правящего совета философами, но стоит подробнее рассказать об их ценностях и о том, по каким критериям они оценивают предложения. На самом деле это жаждущая власти компания макиавеллистов, каждый из которых отчаянно стремится стать философом-царем. Для каждого члена совета важнее всего попасть в новый совет, и он никогда не проголосует за предложение, в котором для него нет места. Во-вторых, если философ входит в предлагаемый совет, он предпочитает получить как можно более высокий ранг, то есть как можно меньшее число: быть философом 1 лучше всего, философом 2 - второй по предпочтительности вариант и так далее. В-третьих, если место философа в совете и его ранг уже определены, он предпочитает, чтобы совет был как можно меньше, поскольку не хочет без необходимости делиться властью.

Предположим, что сейчас в совете пять членов. Какое предложение выдвинет философ с самым низким рангом, то есть философ 5?

Я не вижу себя в качестве писателя. Но так случилось, что я столкнулся с прекрасным.

Занимаясь археологическими изысканиями в микрокоде МК-61, я задался вопросом: а как же деды запихали столько ума в такие ограниченные ресурсы, и даже без умножителей? Сейчас на целочисленном кортексе использование одной плавающей запятой приводит к взрыву прошивки (да, утрирую, но эмоционально оно так).

Если коротко: есть калькулятор МК-61 (1983). Внутри пять микросхем, которые соединены в однобитовую последовательную кольцевую шину: две памяти и три вычислителя со своей специализацией. Фактически они работают параллельно и синхронизируются через этот канал связи. Можно сказать, что это прообраз парадигмы NOC (network on chip) в современном железе применительно к FPGA.

Собственно о красоте. Чип ИК1303 (1980) отвечает за математические расчёты. В нём восемнадцать вычислительных операций: четыре бинарных (+ — * /) и четырнадцать F‑функций (10^x e^x lg ln arcsin arccos arctg sin cos tg sqrt x^2 x^y 1/x). Сверх них — обмен x<→y и служебные, видные только изнутри: нормализация, генератор констант, приведение угла.

Никаких CORDIC, никакой двоичной плавающей запятой! Но как?! Просто и изящно. Одна функция для большей части операций! ОДНА!

В предыдущей статье 'Энтропия в классической термодинамике' был рассмотрен формализм термодинамики. Для изолированных систем неравенство Клаузиуса приводит к простому заключению, что энтропия изолированной системы является критерием самопроизвольного процесса. В этом случае энтропия при протекании любого возможного процесса возрастает и поэтому с легкой руки Артура Эддингтона стали говорить о втором законе как о стреле времени.

Определенная проблема с этим утверждения в том, что время не входит в явном виде, и со стрелой времени отождествляется знак неравенства — неравенство запрещает протекание процессов в обратном направлении. К этому добавляются утверждения некоторых физиков, что классическая термодинамика (ниже просто термодинамика) не позволяет рассматривать неравновесные состояния. Это приводит к путанице, которая в особенности проявилась в статье Йоса Уффинка. Он хорошо известен работами в области статистической механики, но ему показалось, что можно упростить обоснование статистической механики, если убрать связь неравенства Клаузиуса со стрелой времени. Такая точка зрения изложена в статье в 2001 году с вызывающим названием ‘Блефуйте по-своему во втором законе термодинамики‘. Это статья пользуется популярностью среди философов физики и в настоящее время можно увидеть радикальные заявления об отсутствии стрелы времени в классической термодинамике.

Пиратский корабль, на борту которого находится команда грозных и безупречно логичных пиратов, а также сокровище из ста золотых монет, которое им предстоит разделить между собой. Как они это сделают?

Пираты уже давно договорились о процедуре раздела сокровища. Все они линейно упорядочены по старшинству: капитан, первый помощник, второй помощник и так далее по иерархии. Но для простоты будем называть их пиратом номер один, пиратом номер два, пиратом номер три и так далее. Пират номер девять тем временем драит палубу, готовясь к предстоящему.

Для проведения раздела все пираты собираются на палубе, а пират самого низкого ранга встает на доску. Стоя перед остальными пиратами, он предлагает конкретный способ разделить золото: столько-то золотых монет капитану, столько-то пирату номер два и так далее. После этого пираты голосуют за предложенный план, причем пират, стоящий на доске, также участвует в голосовании.

Если план одобряет строгое большинство пиратов, то он принимается, и золото распределяется именно таким образом. Но если план не получает поддержки большинства, то, к сожалению, предложивший его пират должен пройти по доске и упасть в море, где его ждет смерть. После этого процедура продолжается со следующим пиратом снизу по старшинству, который теперь, разумеется, становится пиратом самого низкого ранга.

Предположим, что вы — пират номер десять. Какой план вы предложите?

Сочли бы вы хорошей идеей предложить оставить себе девяносто четыре золотые монеты, а оставшиеся шесть раздать нескольким другим пиратам?

На самом деле вы действительно можете предложить именно такой вариант, и если все сделать правильно, ваш план будет принят!

Солнце тяжким грузом давило по остаткам некогда великого Брауновского университета. В первый день июня 2035 года профессор Родерик Шотц молча стоял перед своим кабинетом и, щурясь, смотрел вверх. Его глаза заливал лившийся со лба пот. Уже третий день подряд температура переваливала глубоко за со́рок.

— Чёрт, — пробормотал Шотц себе под нос, глядя, как огромные столбы дыма поднимаются сквозь густую ядовитую мглу. Дым валил с поля за дата-центром.

«Кабинетом» это место можно было назвать с большой натяжкой. Три года назад кафедру математики официально реорганизовали в группу ИИ-математики — одно из семнадцати подразделений нового департамента AI-STEM. Руководство AI-STEM заняло кабинеты математического корпуса, а оставшийся профессорско-преподавательский состав кафедры ютился в длинном ряду деревянных будок — по сути, переоборудованных нужников. Почти никто из профессоров на «работу» вообще не ходил, но Шотцу нравилось выбираться из своего некогда прекрасного жилища — дома в стиле современной архитектуры в Баррингтоне, где теперь теснились шесть семей.

На протяжении всей своей истории человечество любило играть: создавать искусственный маленький мир со своими правилами и исследовать его. Самые древние в мире игрушки датируются 4–5-м тысячелетием до нашей эры. Не меньше мы любим и познавать, разбираться уже в мире вокруг себя, выявлять его законы и тем самым делать мир удобнее, приятнее и проще для собственной жизни. Столетиями два этих замечательных стремления — развлекаться и познавать — существовали несколько порознь: несерьёзное это дело для научного мужа — увлекаться игрушками. Но кое о чём учёные не догадывались: их открытия и осознание мира реального вели к созданию одного из самых впечатляющих развлечений — видеоигр. Давайте разбираться, какие именно открытия в мире реальном дали нам возможность погружаться в миры виртуальные — и кому за это сказать спасибо.

На отдалённом острове живут сто безупречно логичных жителей с отличным зрением, и каждый из них знает, что все остальные обладают такими же способностями. Кроме того, у всех них яркие, насыщенно-голубые глаза.

Однако по их культурным обычаям цвет глаз никогда не обсуждается. Если кто-либо из жителей узнает, что у него голубые глаза, он обязан на следующем рассвете покинуть остров, устроив перед уходом эффектное представление, заметное всем остальным жителям. Поэтому на острове нет ни зеркал, ни камер, а сами островитяне никогда не смотрят на собственное отражение. И действительно, никто из них не знает цвета собственных глаз.

Однажды на остров приезжает гостья, которой все доверяют, и приятно проводит там некоторое время. В конце своего визита, перед отъездом, когда всё сообщество собирается её проводить, она замечает:

«По крайней мере у одного из вас голубые глаза».

Ровно через сто дней происходит следующее: на рассвете все островитяне устраивают большое эффектное представление и покидают остров.

Почему? Можете объяснить, каким образом каждый из островитян именно в этот день пришёл к знанию того, что у него голубые глаза?

Важной вехой в математических исследованиях с использованием ИИ стал пример команды компании Axiom Math, которая впервые автоматически проверила доказательство теоремы, касающейся простых чисел — в просторечии известной как «теорема 246» — с помощью собственной системы искусственного интеллекта AxiomProver.

При формальной проверке математики поручают компьютеру проверить машиночитаемую версию доказательства. Этот процесс не дает 100-процентной гарантии правильности доказательства, как показала недавняя демонстрация, в ходе которой было выявлено, что ошибка в методе может привести к ложному подтверждению доказательства, сгенерированного ИИ. Тем не менее, этот вычислительный метод максимально приближает к одобрение доказательства при помощи ИИ к реальности.

Это подтверждение формализует важный прорыв в теории чисел. Помимо этого конкретного доказательства, она демонстрирует, как автоматизированную проверку с помощью ИИ можно будет использовать в будущем для обеспечения корректности компьютерного кода, сгенерированного ИИ, который в скором времени станет основой программного обеспечения по всему миру.

Вы нажимаете в ERP кнопку «Рассчитать план», получаете плановые заказы с датами и резонно предполагаете, что система только что построила производственный план. Она его не строила. Она рассчитала, что нужно закупить и изготовить под план, который кто‑то дал ей на вход. Разбираю двенадцать характеристик производства, при которых MRP перестаёт справляться, и объясняю, откуда на самом деле должен браться производственный план.

В термодинамике большую роль играет отличие между обратимыми и необратимыми процессами. Идеальный цикл Карно включает в себя обратимый изотермический процесс превращения теплоты в работу. Его возможность обеспечивается тем, что предполагается бесконечно малая разность температур между источником теплоты и рабочим телом. С другой стороны, теплообмен между двумя телами с разными температурами является необратимым процессом, что подчеркивается во всех учебниках термодинамики. В этом случае переход к медленному процессу при стремлении времени к бесконечности не помогает, процесс остается необратимым. Энтропия системы, состоящей из двух тел с разными температурами, по мере передачи теплоты возрастает.

В. А. Зорич в книге ‘Математические аспекты классической термодинамики‘ предложил задачу, которая показывает, как при сохранении формулировки Клаузиуса 'Теплота не может переходить само собой (без компенсации) от более холодного тела к более тёплому' можно провести обратимый теплообмен между двумя брусками с разными температурами. Никогда не предполагал, что такое возможно. Конечно, предложенный процесс невозможен практически, но предлагаемая концептуальная модель дает новый взгляд на теплообмен.

В этой статье мы разберем, как работает Implicit Maximum Likelihood Estimation (IMLE), почему этот подход помогает избегать пропуска мод в генеративных моделях и как на практике устроено обучение через сопоставление реальных объектов с ближайшими сгенерированными примерами.