Математика *

В 1931 году, обратив логику против самой себя, Курт Гёдель доказал пару теорем, которые изменили представление о знании и истине. Эти «теоремы о неполноте» установили, что ни одна формальная система математики — ни одно конечное множество правил или аксиом, из которых, как предполагается, вытекает всё остальное, — не может быть полной. Всегда будут существовать истинные математические утверждения, которые логически не вытекают из этих аксиом.

Первые недели пандемии Covid я провела, изучая, как 25-летний австрийский логик и математик сумел этого добиться, а затем написала краткое изложение его доказательства объёмом менее 2000 слов.

Но даже после того, как я разобралась в этапах доказательства Гёделя, я не была уверена, как именно следует трактовать его теоремы, которые обычно понимаются как исключающие возможность существования математической «теории всего». И я такая не одна. В книге «Доказательство Гёделя» (классическом труде 1958 года, на который я в значительной степени опиралась при написании своей статьи) философ Эрнест Нагель и математик Джеймс Р. Ньюман писали, что смысл теорем Гёделя «до конца не постигнут».

Возможно, это и так, но с тех пор прошло шесть десятилетий. На каком этапе мы находимся сегодня с этими идеями? Недавно я попросила логиков, математиков, философов и одного физика обсудить смысл теорем о неполноте. У них было много чего сказать о последствиях этого странного интеллектуального достижения Гёделя и о том, как оно изменило ход бесконечного поиска истины человечеством.

Роман Садовников, к.т.н., программист C3D Solver, C3D Labs, рассказывает о нововведениях в модуле C3D Collision Detection.

Модуль C3D Collision Detection применяется в различных отраслях, включая авиационную и автомобильную промышленность, где он служит для управления движением беспилотных транспортных средств (рис. 1). В робототехнике модуль обеспечивает безопасное перемещение станков ЧПУ в динамичной среде, автоматизацию упаковки и предотвращение столкновений с людьми. В игровых и медицинских приложениях модуль отвечает за обработку столкновений виртуальных объектов и используется в тренажерах для обучения проведению операций. В строительстве и логистике C3D Collision Detection помогает контролировать зазоры, реализовывать 3D-проектирование и автоматизировать строительные процессы.

В 2017 году в мире нейросетей произошел почти незаметный переворот. Без громких презентаций и человекоподобных роботов исследователи из Google опубликовали статью с очень скромным названием — Attention is All You Need. Но именно после нее индустрия ИИ фактически разделилась на «до» и «после».

Сегодня на трансформерах работают ChatGPT, Claude, Gemini, Midjourney и почти весь современный генеративный ИИ. И самое странное в этой истории — фундаментом революции стала одна из самых простых операций линейной алгебры: скалярное произведение векторов.

Не новая архитектура памяти.
Не сложная логика вывода.
Не биологически правдоподобная модель мозга.

А обычное перемножение чисел с последующим сложением.

Но чтобы понять, почему именно эта операция оказалась настолько мощной, нужно сначала вспомнить, в какую стену уперлись нейросети старого поколения.

HTCE: как мы строим ИИ, который не верит без доказательств

Большинство AI-систем сегодня стараются отвечать быстро и уверенно. HTCE строится иначе: это когнитивное ядро, которое сначала спрашивает — откуда взялось знание, можно ли ему доверять, сколько стоит проверка и не пытается ли внешний solver подменить истину своим вердиктом.

В этой статье я расскажу о системе нового поколения: не о чат-боте, который красиво имитирует интеллект, а о доказательном runtime, где факты, гипотезы, внешние свидетели, причинные цепочки, сжатие опыта и безопасность разделены архитектурно.

В прошлой статье мы рассчитывали основные показатели электрических цепей, учитывая температурную зависимость сопротивления. В этой статье мы учтём зависимость теплоёмкости от температуры  добавим охлаждение проводника из-за окружающей среды.

Я всю жизнь занимаюсь программированием и привыкла смотреть на любую систему инженерно: искать паттерны, раскладывать сложное на части, строить модели. Через это же мышление я анализировала вопросы, которые меня всегда интересовали. Что такое Человек? Есть ли свобода воли? В чём смысл жизни? В итоге свои ответы я нашла, и у меня получилась простая формула. О чём я сейчас и расскажу.

Итак, чтобы ответить на вопрос «Что такое Человек», надо понять, чем человек отличается от животного, в чём заключается дельта между ними, надстройка. А правильный базис для поиска ответа лежит в том процессе, который и животного, и человека сделал. В эволюции.

Арбитраж — это заработок на временных расхождениях цен связанных активов. Разберём стратегию Pairs Trading на фьючерсах природного газа: найдем пару, проведем бэктест и запустим живого торгового бота — без глубоких знаний программирования, с помощью ИИ-агентов Cursor, OpenClaw и Claude Code. Пошаговый гайд с промптами и результатами.

В первой статье синус оказался не просто функцией из учебника, а тенью крутящейся стрелки. Там я показал три главные двери: заморозить стрелку — проекция, пустить во времени — колебание, сложить несколько — волны. Здесь дверей будет больше — к трём главным добавятся поворот и кривизна, плюс бонус.

Эта статья — каталог. Сорок два примера по пяти дверям и бонусу, и каждый со своим живым графиком: ниже не одна обложка на дверь, а отдельная карточка на каждый случай. Три из них — Доплер, ряд Фурье и гласные — со звуком: жми «слушать» и услышишь синус ушами.

Читать подряд не обязательно — это карта, а не маршрут. Электрик, скорее всего, осядет во второй двери, фронтендер — в четвёртой, штурман — в пятой. Идите туда, где ваше; остальное подождёт в закладках.

Сразу честная оговорка: 42 — это не «столько синусов в мире», а столько, сколько набралось у нас, с понятным перекосом в физику и инженерию. Синус не «применяется в N законах», как гвоздь в N досках — он следствие одной структуры: всё, что вращается, колеблется или имеет волновую симметрию, автоматически его порождает. А таких систем не конечное число, их класс. Так что ниже — не перепись, а полевой определитель: яркие представители бесконечного семейства. В конце я отдельно перечислю, чего тут нет.

Авторы: Канунников А., Лыков А., к.ф.-м.н., академический руководитель Школы Высшей Математики и ШАДХелпера.

В статье разбираем задачи онлайн-экзамена в ШАД 2026 года и смотрим, как с ними справились восемь больших языковых моделей — от ChatGPT до GigaChat.

В прошлом году мы тестировали модели на задачах онлайн-экзамена ШАД 2025. Тогда лидировал ChatGPT o3 с 57 баллами, а российские модели не набрали ни одного. В этот раз берём шесть задач онлайн-экзамена 2026 года и тестируем восемь моделей: ChatGPT 5.5, Gemini 3.1 Pro, Claude Opus 4.8, DeepSeek-V4-Pro, YandexGPT 5.1 Pro, GigaChat Ultra, Qwen3.7-Max и GLM-5.2.

Сразу скажем результат: Qwen3.7-Max и DeepSeek-V4-Pro набрали по 58 баллов из 60, Gemini 3.1 Pro — 56, ChatGPT 5.5 — 53. Российские модели в этом году уже не нулевые: YandexGPT — 28 баллов, GigaChat — 13. Результаты остальных моделей — в таблице ниже. Переходим к задачам.

Уже прошло два года с тех пор, как мы предложили схему 4.6-битного квантования и рассказали про нее, в том числе и на Хабре: раз и два. Вспомним, что при 4.6-битном квантовании веса и входы слоя принимают такие целые значения, что их попарные произведения помещаются в знаковый 8-битный тип данных. Такая схема позволила нам вычислять нейронные сети на процессорах мобильных устройств быстрее, чем в 8-битном формате, и точнее, чем в 4-битном, потому что уровней квантования больше.

За прошедшее время у нас появился опыт практического применения таких сетей, и оказалось, что для реального использования важны не только схема квантования и алгоритм умножения. Не меньше вопросов возникает по поводу того, как устроены активации, как хранить карты признаков между слоями, как обрабатывать ветвления и как именно обучается квантованная сеть. Сегодня в статье как раз поговорим про это.

Всем привет. Хотел бы поделиться своими результатами и обратиться за ответным мнением.

Представлюсь: Шевченко Максим Юрьевич. Работал мануальным тестировщиком (в том числе); считаю себя исследователем, в основном, в области математики.

Лет 10 тому назад мне удалось вывести обобщение тождества Деснано‑Якоби, связанное с методом конденсации Чарльза Доджсона (более известного как Льюис Кэрролл). Тогда это обобщение показалось мне интересным лишь с теоретической точки зрения, и никакого практического применения его я не предполагал. Некоторое время эта работа «пылилась в сундуке», пока я ее, наконец, не опубликовал на GitVerse (там же Python код, о котором позже).

В настоящее время, оказавшись без работы, я вдруг понял, что мой труд, как и я сам, снова пылится без дела и пользы, и почувствовал досаду. Дело еще в том, что будучи человеком без ученой степени, в академических кругах я часто сталкивался с так называемым «недоумением» в свой адрес по поводу моих научных изысканий. Работа моя была опубликована в нерецензируемом журнале. Так что до поры мне не удавалось осознать степень ее новизны и область применения.

И потому в качестве рецензента я решил наконец обратиться к искусственному интеллекту (далее «AI»). LLM‑модели не интересуются регалиями, не затягивают ответ на полгода и готовы отвечать на вопросы до бесконечности.

Конечно, с другой стороны AI может «галлюцинировать», а также выдавать желаемое за действительное, то есть заниматься «цифровым подхалимством»: сикофантией.

Несмотря на все усилия Бурбаки, Коши и Вейерштрасса, подлинно формальные доказательства всегда оставались предметом теории, а не практики. Некоторые математики теперь надеются, что компьютеры смогут это изменить.

Начиная с 1960-х годов исследователи разрабатывают компьютерные программы, называемые системами интерактивного доказательства. Используя такую систему, математик записывает каждую строку доказательства (включая каждое определение) на языке, понятном компьютеру, а затем система проверяет логику. Если хотя бы один шаг не вытекает из предыдущего — если не доказана каждая мелочь вплоть до того, что 1 + 1 = 2, — программа не примет доказательство.

Сейчас учёные надеются формализовать всю математику с помощью системы интерактивного доказательства под названием Lean. Уже создана библиотека, содержащая более 120 000 определений, и проверено четверть миллиона теорем. Несколько математиков поддерживают эту базу данных, обновляя её и проверяя новые данные. (Некоторые из них занимаются этой работой полный рабочий день.) Они уже получили более 10 миллионов долларов финансирования, в основном от миллиардера-финансиста Алекса Герко.

Статья о пет-проекте — попытке создать мини-библиотеку по линейной алгебре с небольшим функционалом для работы с матрицами.

Не умея рисовать, организовал три персональные выставки портретов и картин с января по май в разных городах России. 21-й век на дворе. Программист нажимает кнопку, а робот рисует простой шариковой ручкой на простой бумаге. Как? Об этом в статье.

Если вы ловили расхождение точности между двумя реализациями одной сети, то знаете это чувство: один matmul на двух устройствах даёт разные числа, и непонятно — это баг, bf16 округлил или формат не тот. Две команды меряют один результат разными линейками.

Я сделал одну линейку с точными насечками: машинно-проверяемый каталог из 83 числовых форматов в 13 кластерах. Для каждого — разрядка битов, смещение, кодирование inf/NaN/субнормалей и общий якорь проверки 0x47C0. Из одного источника истины генерируются Markdown, JSON, Python, Rust, C и RTL для кремния.

У каждого формата стоит метка зрелости: 51 Verified, 12 Historical, 11 Experimental, 9 Open. И отдельная ось — граница RTL: где правило e = round((N−1)/φ²) ещё работающее железо (GF16 доведён до кремния), а где уже гипотеза (GF512/GF1024 — экстраполяция без строки Verilog). Внутри — лестница зрелости форматов, связь с IEEE P3109 и реальный баг в умножителе, который нашли только потому, что под форматом есть железо.

В этой статье мы рассмотрим рюкзачную, или ранцевую, криптосистему Шора-Ривеста (Chor-Rivest knapsack). Это один из немногих алгоритмов классической криптографии, который можно рассматривать как постквантовый кандидат. Несмотря на то что сегодня он не считается современной и надёжной постквантовой криптосистемой, его всё равно интересно разобрать как один из нестандартных вариантов такого рода.

Сайт okama.io — набор бесплатных интерактивных инструментов для портфельного анализа инвестиционных стратегий: граница эффективности, сравнение активов, бэктестинг портфелей с денежными потоками и прогнозом Монте-Карло, поиск по базе финансовых данных и макроэкономика. Весь проект — open-source на Python (приложение okama-dash на Dash/Plotly).

Что общего между кроссвордом, тетрисом и пазлом? Все они являются играми-головоломками, которые заставляют игрока шевелить извилинами. Какие-то головоломки построены на применении внимания и усидчивости, какие-то тестируют знания и память, какие-то заставляют формировать стратегию. Но есть и такие, что кажутся на первый взгляд весьма случайными и полагающимися больше на удачу, нежели на точный расчет. К таким относиться Wordle — головоломка, в которой необходимо угадать слово из 5 букв за 6 попыток. Ученые из Бингемтонского университета (Вестал, штат Нью-Йорк, США), используя теорию информации, разработали стратегию для игры в Wordle, которая позволяет «угадывать» слова с точностью 99%. В чем секрет данной стратегии и насколько она сложна? Ответы на эти вопросы мы найдем в докладе ученых.

В предыдущей части мы разобрали градиентный бустинг — финального босса в классическом обучении с учителем. Мы научились строить мощные ансамбли, которые выжимают максимум из табличных данных. Кажется, что на этом можно ставить точку и прыгать в современный мир нейросетей и Deep Learning.

Но до этого момента мы жили в идеальной теплице: у нас всегда была разметка (тот самый target, который нужно предсказать), а количество признаков в таблицах было разумным. В реальности все иначе. Данных часто слишком много, в них куча шума, а правильных ответов никто не разметил.

В этой части мы закроем очередную проблему в классическом ML — столкнемся лицом к лицу с проклятием размерности (curse of dimensionality). Поймем, как сжимать многомерные пространства, не теряя важный смысл, и как заставить машину самостоятельно группировать объекты в кластеры, вообще не имея готовых классов.

Почему bfloat16 стал стандартом для обучения нейросетей? Не потому, что он оптимален как число, — а потому что под него десять лет затачивали GPU и TPU. Снимаем этот эффект железа и смотрим на числа честно.

В статье: семейство форматов GoldenFloat (GF4, GF8, GF16, GF32, GF64, GF1024) с основанием φ = (1+√5)/2; метрика «бит на значение» (GF16 = 2.5725 обходит bf16 = 2.6135 на одном корпусе); и неожиданный мост к троичной машине «Сетунь» Н. П. Брусенцова — три состояния −1/0/+1 как предельная точка той же φ-лестницы.

Без обещаний золотых гор: что измерено — измерено, что только спека — помечено.