Математика *

Disclaimer: в преддверии ожидания публикации от OpenAI новых решенных задач (которые не вошли в DevDay, как хотелось бы) делюсь обзором на понимание, зачем человечеству открытые задачи науки и как они улучшают нам жизнь.

Наука у меня обычно ассоциируется со знанием: законы, уравнения и теоремы с доказательствами. Но передовые открытия устроены наоборот, и главную часть составляют открытые задачи, то есть гипотезы, истинность которых пока не известна. Такие задачи показывают границы не только наших знаний, но и наших методов мышления.

А вот попытка решить фундаментальную задачу часто оказывается важнее самого ответа.

Описание движения планет потребовало от Ньютона и Лейбница создать математический анализ, без которого не обходится современная инженерия. Уравнения Максвелла предсказали электромагнитные волны и через несколько десятилетий дали нам радио. Теория чисел столетиями считалась образцом бесполезной математики, а теперь на ней держится криптография. Триста лет попыток доказать Великую теорему Ферма породили огромную инфраструктуру теории чисел и алгебраической геометрии, вершиной которой стало доказательство Уайлса. 

Поэтому вопрос о практической пользе нерешённой задачи поставлен неправильно, ведь мы заранее не знаем, какие инструменты придётся изобрести.

Иногда задача показывает, что неверна сама исходная картина мира. Аномалию орбиты Меркурия не удалось исправить поправкой к механике Ньютона, для неё понадобилась общая теория относительности.

5 октября американские исследователи Вирджиния Василевска-Уильямс, известная своими быстрыми (и безумно сложными) алгоритмами перемножения матриц за вместо и её бывший аспирант Джош Алман опубликовали препринт на arxiv.org, демонстрирующий алгоритм решения задачи 3SUM за .

Это знаковое событие в узких кругах. Во-первых, раньше предполагалось, что решить эту задачу быстрее, чем за , невозможно. Во-вторых, вместе с ней наконец решилась быстрее, чем за , задача нахождения кратчайших путей между любыми парами вершин в графе (All-Pairs Shortest Paths, APSP) — по-настоящему практическая задача вычислительной геометрии. В-третьих, мало того, что корректность работы проверяла закрытая модель Anthropic — авторы также утверждают, что Claude нашёл изначальный алгоритм, после чего учёные осознали и улучшили его.

В этой новости я очень кратко перескажу долгий путь, который привёл к этому открытию, и опишу роль LLM в финале этого пути.

В данной статье докажу, что чисел-близнецов бесконечно!

Напомню, числа-близнецы (или простые близнецы) — это пары простых чисел, которые отличаются друг от друга ровно на 2. Например, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) и так далее.

У чисел-близнецов есть свойство которое поможет нам в доказательстве - формой представления, где все пары чисел-близнецов, кроме (3,5), имеют вид (6n-1, 6n+1).

Пару дней назад ко мне подошел сын-дошкольник и спросил: "Папа, а цифра пять – это мальчик или девочка?". Хоть у меня математическое образование, но я растерялся. В таком контексте я никогда не думал о числах, а представлял их как удобную абстракцию. Я опросил родных, знакомых, полез в интернет и к моему удивлению, многие опрошенные сразу дали числам пол.

Хочу рассказать, что я выяснил по этой части за пару дней.

Я играю в Factorio как любой нормальный человек: для планирования фабрики пишу код матричных вычислений.

Но до этого мы ещё доберёмся. Если же вам не терпится, можете просмотреть мой новый онлайн-калькулятор.

Введение в Factorio и качество

Factorio практически стала создателем жанра видеоигр «строительство фабрики»: мы играем за персонажа, который собирает ресурсы и комбинирует их для изготовления всё более сложных изделий, которые, в свою очередь, позволяют заниматься ещё более сложным изготовлением. По описанию это походит на Minecraft и на многие другие игры-выживалки, но фабрикостроительные игры отличает от них упор на автоматизацию: очень скоро всё производство начинает выполняться не вручную персонажем, а всё большим количеством механизмов с различными видами логистики, например, конвейерными лентами, перемещающими изделия между механизмами. Разработчики некоторых игр этого жанра пошли ещё дальше и полностью избавились от персонажа игрока.

В процессе разблокировки новых внутриигровых «технологий» Factorio предоставляет всё больше механизмов, совершенствующих производство. Один из них — это модули: производственные машины, имеющие определённое (ограниченное) количество слотов для приёма различных видов модулей, влияющих на их характеристики: модули скорости ускоряют работу машины ценой повышенного энергопотребления, модули продуктивности повышают выпуск продукции из того же количества ингредиентов ценой скорости и энергии и так далее.

Выпущенное в 2024 году расширение Space Age добавило новые игровые механики, в том числе и качество (Quality): у каждого изделия и рецепта теперь есть пять уровней качества: ⚀ обычное, ⚁ необычное, ⚂ редкое, ⚃ эпическое и ⚄ легендарное. Каждый уровень (в зависимости от конкретного изделия) повышает характеристики, например, ускоряя производственные машины или повышая производительность модулей продуктивности. Высококачественные изделия можно изготавливать непосредственно из ингредиентов того же качества, однако единственный способ повышения качества — это применение новых модулей качества.

Код и списки выложены в публичном репозитории на GitVerse по ссылке: https://gitverse.ru/mshshukin2005/real-schemes-degree8

В этой статье я хочу рассказать об одной из многих нерешённых математических проблем.

Речь пойдёт о Шестнадцатой проблеме Гильберта.

Шестнадцатая проблема Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков.

Исходно называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей». Впоследствии фактически разделилась на две похожие проблемы в разных областях математики:

исследование взаимного расположения овалов вещественных алгебраических кривых степени n (и аналогичный вопрос для алгебраических поверхностей);

получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения).

Источник:https://ru.wikipedia.org/wiki/Шестнадцатая_проблема_Гильберта

Теорема о четырёх красках формулируется очень просто: можно ли на непрерывной карте раскрасить каждую область одним из четырёх цветов так, чтобы соседние области были разных цветов?

Некоторые математические задачи продолжают преследовать исследователей ещё долго после того, как были решены. Появляется доказательство, его даже торжественно приветствуют, но чувство неудовлетворённости остаётся. Возможно, рассуждение слишком запутано и люди продолжают искать неуловимое доказательство на одной странице. А возможно, доказательство не даёт более глубокого теоретического понимания того, почему утверждение вообще верно. Какой бы ни была причина, математики снова и снова возвращаются к делу, которое формально уже считается закрытым.

Один из самых знаменитых таких случаев — теорема о четырёх красках, задача, изменившая само представление математиков о своей науке.

Задачу легко сформулировать, а представить себе ещё легче: можно ли на непрерывной карте раскрасить каждую область одним из четырёх цветов так, чтобы соседние области были разных цветов? В середине XIX века этот вопрос почти не интересовал картографов: в их распоряжении было гораздо больше четырёх цветов, и никаких причин искусственно ограничивать палитру они не видели. Но для математиков, как любителей, так и профессионалов, эта головоломка быстро превратилась в одержимость.

В середине XIX века головоломка о раскраске карт быстро стала настоящей навязчивой идеей. И сегодня продолжаются поиски более простого решения этой обманчивой задачи — простой на первый взгляд и трудной для решения.

«В последние месяцы успехи искусственного интеллекта в решении крупных математических проблем всё чаще становятся новостями далеко за пределами профессионального математического сообщества. Но решение задач — это лишь средство и косвенный показатель продвижения к более глубокой цели: концептуальному пониманию и появлению новых идей. Если в мире ИИ об этой цели забыть, средство способно начать разрушать то, чему оно должно было служить. Массовое производство всё новых утверждений и ответов — «истинно» или «ложно», «доказано» или «опровергнуто» — с постоянно возрастающей скоростью может не обогатить математическую почву, а, напротив, истощить её прежде, чем на ней успеют возникнуть новые идеи.» /11 сентября 2026. Декларация 25 филдсовских лауреатов[1]/

Одна из таких задач — Гипотеза простых чисел-близнецов[2]. Подробности гонки за ее доказательством описывает Science News[3]. Заявлено, что искусственный интеллект обошел людей и улучшил до 186 рекорд для bounded gap between primes (предыдущее достижение было 246 — проект Polymath, 2014 год). Но это не настоящий финиш. И уж тем более, ничего не добавилось к пониманию проблемы. Общепризнано, что необходимы принципиально новые идеи.

Из ответа Google: «Итог: Консенсус в академической среде однозначен — чтобы превратить уменьшающийся интервал (будь то 246 или 186) в честную двойку, математическому сообществу нужен качественный ментальный сдвиг и абсолютно новые структуры, а не просто мощные суперкомпьютеры и оптимизация старых формул.»

Между тем, вожделенный новый подход уже найден (без участия ИИ)…

Всем привет! На связи Денис Зорин и Гриша Засько, мы работаем в ASL — лаборатории прикладной статистики Т-Банка. Помогаем командам проводить A/B-тесты на масштабе всей экосистемы: от дизайна эксперимента до анализа результатов. Еще мы развиваем A/B-платформу, инструменты для экспериментов и методы, которые помогают ускорять тесты без потери статистических гарантий.

Расскажем о задачке, с которой столкнулись в тестах с множественными сравнениями. Когда в эксперименте несколько целевых метрик, нужно контролировать вероятность ложноположительного результата. Часто для этого используют поправку Бонферрони: общий уровень значимости делят поровну между метриками, это простой и надежный метод.

Но мы обратили внимание, что, когда метрик несколько, есть потенциал для ускорения: мы предлагаем не делить уровень значимости поровну, а распределять его между метриками оптимально. В результате для некоторых тестов удается сократить необходимый размер выборки на десятки процентов, и эффект усиливается для тестов с большим количеством множественных сравнений.

Плеер показывает у трека «ми минор», но как он это узнал? Программа не слушает гармонию, как музыкант: она считает, сколько звучит каждой из 12 нот, и ищет гамму, на которую набор похож сильнее всего. Разбираю алгоритм Крумхансл-Шмуклера на реальных треках, показываю, где он путает квинту и родственную тональность, и что тут меняют нейросети.

"- Когда я вижу ответ LLM, я скорее поверю, что где-то сидят миллион индусов, чем то, что ответ есть результат перемножения матриц. - Я тебе покажу "молекулу" этих нейросетей и ты поверишь, что индусы заняты не этим."

После этого диалога с Юриком, держу слово. Написал ему письмо, и решил - пусть и остальные прочтут. Прошу простить за несколько развязный тон письма, но это все-таки личное письмо и в нашем общении оно допустимо.

«Дорогой, Юрик!

Стало обидно и за матрицы и за индусов, и я обещал тебе, что покажу как можно спомощью первых, заменить вторых. Я обещал показать работу нейросети на примере решения ХОР, но я начну на шаг раньше, не потому, что ты этого не знаешь, а так мне, - тугодуму, легче удержать логику объяснения.

Многие слышали об оптоволокне и знают, что оно представляет собой магистральные каналы передачи данных (если хотите разобраться, как работает оптоволокно, вот отличный ликбез). По отповолокнам, проложенным по дну океанов, ежедневно прокачиваются Зетабайты гифок с котиками и AI слопа, а вероятность передать бит с ошибкой держиться на уровне 10^-10, т.е. один ошибочный бит (даже не байт) на 1 Гб данных. Естественно потребность в высокой скорости соединения неулонно растёт и для оптоволокна повился свой аналог закона Мура, гласящий, что скорость передачи удесеряется каждые 4 года. В этом цикле статей мы поговорим о том, есть ли предел скорости передачи данных для оптоволокна, попробуем его оценить и можно ли этот предел достигнуть на практике.

В прошлом году я написал пост про известную шифровальную машину нацистов Как работает машина Enigma M3 (для флота) / Хабр .

Enigma широко использовалась в немецких вооружённых силах, включая армию и флот.

Но куда менее известной является машина Lorenz SZ 42, хотя она была не менее важна.

Из этой статьи вы сможете узнать, как шифровали сверхсекретную связь высшего немецкого командования, как ошибка оператора в 1941 году помогла раскрыть устройство Lorenz и почему в 1944-м для чтения таких сообщений появился электронный Colossus.

Сразу скажу, что написать эту статью было куда сложнее, чем статью про Enigma, так как материалов про это сильно меньше, особенно научно-популярных и особенно на русском языке. Но это того стоило! Получилась еще одна увлекательная глава из истории техники, криптографии и Второй мировой войны.

Кроме того, в процессе работы над материалом было найдено довольно много первоисточников, которые неплохо сохранить внутри такой статьи. В самом низу есть cайты, архивы, интерактивные модели и первоисточники, в статье много кода на Python.

Снова всем привет!

Прошло всего два дня с того момента как я выложил LSWM.

В общем я протестировал и поэкспериментировал эту сеть ещё раз и нашёл СТОЛЬКО проблем, сколько даже ванильный RNN не видел.

В этой статье я попытаюсь их исправить.

За последний год я проверил около двадцати торговых идей. Каждая сначала выглядела убедительно: приличная t-статистика, гладкая кривая доходности, понятная история. И каждая умерла на конкретной проверке. В этой статье собраны эти проверки с реальными цифрами «до» и «после».

Полезным итогом года оказалась не стратегия, а скорость, с которой я научился убивать неправильные.

Про шесть рукопожатий знают все, и почти все знают, что это как-то связано с Милгрэмом и письмами где-то в шестидесятых. Но на этом знание обычно заканчивается: есть цифра шесть, есть фамилия, а между ними пустота, которую заполняют пересказы пересказов. Мне стало интересно, что именно Милгрэм проверял, на скольких людях и что у него получилось в действительности, поэтому я окунулся в первоисточники и в работы тех, кто уже успел побывать в его архиве.

Самая первая попытка выглядела так: в Уичито, штат Канзас, по объявлению в газете набрали 60 добровольцев, и до адресата в Кембридже дошли 3 письма, каждое из которых прошло в среднем через восемь человек, то есть девять рукопожатий. Эти цифры Милгрэм так и не опубликовал, а в популярную статью попала ровно одна цепочка из трех, и, как мы дальше увидим, самая короткая.

Дальше расскажу, как был устроен тот эксперимент, куда деваются письма, почему потери портят не только процент успеха, но и саму измеренную длину цепочки, и что получилось у тех, кто перепроверял Милгрэма уже на миллионах людей.

Мы часто используем привычные нам математические объекты и порой не задумываемся, почему они устроены именно так, а не иначе. На этот вопрос бывает ответить совсем не просто, ведь для этого необходимо взглянуть на повседневные вещи под совершенно другим углом или глубоко обобщить накопленную по ним информацию.

Сегодня я предлагаю подробно разобрать и обобщить информацию об элементарных и специальных функциях. Как мы увидим далее, грань между ними далеко не так очевидна, как кажется на первый взгляд.

В данном материале в максимально простой форме изложены основы обработки цифрового звука, без подробного погружения в теорию цифровой обработки сигналов. Прилагается готовый код на C++ для расчета цифровых фильтров и собственно обработки звука.

«Только 1% людей способны решить эту задачу». С такой подписью в школьные годы мне попалась задача Эйнштейна. На подобную наживку я тогда клевал без раздумий и решал честно, как велели правила: в уме, без бумаги, 40 минут на всё. Сегодня решу её так, как меня научили годы работы с оптимизацией.

Привет, друзья! Меня зовут Сабрина, я XAI/MI researcher, и это наш новый туториал и в этот раз он ближе к разбору статьи. Если вы не знаете ни одно термина из заголовка — вам можно и нужно читать статью — она написана с целью познакомить Вас со всеми терминами во время прочтения.

Работать будем с двумя красивыми вещами. Первая — из DL: автоэнкодеры. Вторая — из математики: динамическая система и то, что расположено внутри нее.

Изучать динамическую систему в AE будет на основе публикации Navigating the Latent Space Dynamics of Neural Models. Приступим!