В прошлом посте я писал о попытках вывести математику из принципов формальной логики. Мы начали с арифметики Пеано, в которой построение натуральных чисел выполнялось из двух произвольных конструкций: элемента, обозначающего ноль, и абстрактной функции следования S(…).
Затем мы перешли к теории множеств, позволившей закодировать внутреннюю структуру этих символов. В результате получилась иерархия натуральных чисел теории множеств, называемых ординалами. Также это привело к интересному выводу: если мы допускаем существование бесконечных множеств, то и само множество всех натуральных чисел (ℕ) имеет структуру ординала. В статье мы обозначили это бесконечное число, как ω и продемонстрировали, что им можно манипулировать при помощи те же арифметических правил, что и конечными числами, но иногда оно ведёт себя неожиданным образом. Например, мы выяснили, что ω + 1 ≠ 1 + ω.
Также мы затронули различные способы рассуждений о величине ординалов и показали, что в мире бесконечностей эти способы расходятся. В частности, мы говорили о придуманном Георгом Кантором понятии кардинальности, помещавшим множество отдельных бесконечных ординалов в один класс размеров, но показывавшим, что существует фундаментальная разница в размерах между множеством натуральных чисел и множеством вещественных (ℝ).
Если вы ещё не читали эту статью, то крайне рекомендую это сделать. После этого, возможно, вас озаботит следующий вопрос: мы подробно определяли натуральные числа, начиная с первооснов, но затем как-то внезапно ввели вещественные числа. Этот пробел стоит закрыть, потому что, как оказывается, вещественные числа крайне странные.
