Математика *

В комментариях к статье про теорему Миттаг-Леффлера я пообещал разобрать гипотезу Римана понятно и подробно. Неожиданно оказалось, что пока я писал текст, ИИ произвел в этой области исследований новый прорыв и поэтому содержание статьи пришлось расширить.

10 августа 2026-го года Anthropic выложила препринт на тридцать пять страниц. В графе «автор» они указали Claude. Утверждение о достигнутом результате выглядит невероятно: ИИ доказал, что не менее двух третей нетривиальных нулей дзета-функции лежат на критической прямой.

В последние десятки лет прогресс в этой задаче измерялся в сотых долях одного процента и каждый такой сдвиг считался достижением: настолько хватало мощи человеческого гения.

В этой статье я расскажу о том, что это всё значит и почему это очень круто.

Ниже также — обещанный вывод связи между нулями дзеты и простыми числами, потом что именно доказано, как (идея действительно умещается на страницу и она красивая), как её нашли — там настоящий детектив, — и чего всё это не значит. Последнее важнее всего, потому что новостные заголовки на эту тему врут как минимум наполовину.

Величайшие математические успехи искусственного интеллекта связаны с решениями задач, поставленных неординарным ученым середины XX века. Изучая особенности задач Эрдёша, математики пытаются понять, как искусственный интеллект может изменить остальные области математики.

20 мая 2026 года компания OpenAI сделала заявление, которое потрясло математический мир. Внутренняя модель ИИ — недоступная для широкой публики — нашла контрпример к задаче «единичного расстояния», гипотезе, выдвинутой в 1946 году Полом Эрдёшом, плодовитым венгерским математиком, любившим переезжать с место на место.

Эрдёш сформулировал тысячи вопросов, но этот был особенным: его было просто объяснить, и при этом он отличался большой математической глубиной. Это было первое исторически значимое доказательство, полученное с помощью модели искусственного интеллекта. Хотя модель выдала не окончательный результат — математики‑люди существенно его усовершенствовали в течение нескольких недель — он был новаторским, поскольку использовал идеи из отдаленной области математики, которые ранее никто не применял к этой задаче. И он оказал большое влияние: в течение нескольких дней аналогичные методы уже использовались для решения других важных задач.

Затем 1 августа компания OpenAI объявила, что еще не выпущенная модель под названием Astra добилась 10 дополнительных математических прорывов, в том числе нашла решения еще для трех задач, поставленных Эрдёшем.

Многие математики оценили подобные достижения как фазовый переход в математических возможностях моделей искусственного интеллекта. Эти модели «радикально меняют подход к проведению математических исследований», — отметила Нога Алон из Принстонского университета, которая за свою многолетнюю карьеру решила десятки задач Эрдёша.

В 2003 году немецкая аспирантка по имени Бритта Шпет наткнулась на гипотезу Маккея — одну из крупнейших нерешённых задач в области математики, известной как теория групп. Сначала её цели были относительно скромными: она надеялась доказать одну‑две теоремы, которые позволили бы сделать небольшой шаг вперёд в решении этой задачи, как делали многие другие математики до неё. Но с годами она снова и снова возвращалась к ней. По её словам, всякий раз, когда она пыталась сосредоточиться на чём‑то другом, «это не срабатывало».

Существовал риск, что столь упорное стремление к решению столь сложной задачи может навредить её академической карьере, но Шпет всё равно посвятила ей всё своё время. Это привело её в кабинет Марка Кабанеса — математика, ныне работающего в Институте математики Жюссьё в Париже, который, вдохновлённый её усилиями, тоже полностью погрузился в работу над этой гипотезой. Работая вместе, они влюбились друг в друга и в конце концов создали семью.

Проблема, которая поглотила их внимание, берёт за основу одну из ключевых тем математики и превращает её в конкретный инструмент для исследователей теории групп. Математика полна чрезвычайно сложных абстрактных объектов, которые невозможно изучить в полном объёме. Однако, как обнаружили математики, зачастую достаточно рассмотреть лишь небольшой фрагмент такого объекта, чтобы понять его более общие свойства. Например, в III веке до н. э. древнегреческий математик Эратосфен оценил окружность Земли — примерно 40 000 км — путём измерения теней, отбрасываемых солнцем, всего в двух городах, расположенных на расстоянии около 800 км друг от друга. Аналогичным образом, когда математики хотят понять невероятно запутанную функцию, они могут посмотреть, как она ведёт себя на небольшом подмножестве возможных входных значений. Этого может быть достаточно, чтобы понять, как функция ведёт себя при всех возможных входных данных.

Итан Сигел (американский астрофизик-теоретик и научный журналист, автор рубрики "Спросите Итана", один из пропагандистов современных научных знаний), опубликовал, скажем так, если не скандальную, то далеко не нейтральную статью, отвергающую претензии теории струн на то, чтобы стать объясняющей теорией для микромира (назвав ее "спекулятивной", и поставив намного ниже рангом, чем более близкие ему, как астрофизику, теории инфляции, темной материи и темной энергии).

@avshkol перевел эту статью (и снабдил несколькими разъясняющими примечаниями). Эта статья будет интересна всем, кто интересуется современным положением дел в теоретической физике (противостоянием "ортодоксов", к которым, безусловно, относится и Итан, несмотря на нестандартную внешность, и групп сторонников различных новых теорий, где одна из крупнейших, безусловно, группа струнных теоретиков), а также проблемой "энергетической стены", в которую уперлись экспериментаторы, не позволяющей пока исследовать физику на энергиях горизонта ЧД или первых моментов Большого взрыва...

Почему одни интегралы берутся в два счёта, а другие заставляют математиков годами изобретать специальные функции? Дело совсем не в том, что кому-то в голову не приходит идея для красивой замены. В этой статье мы отправимся в путешествие от школьных уравнений к дифференциальным системам и увидим, как занимательная прогулка по петлям комплексной плоскости позволяет выносить приговоры неразрешимости. Рассказываем, как топологическая теория Галуа превращает неберущиеся интегралы в забавные пространственные узлы, которые даже Александр Македонский побоялся бы разрубать.

Физики открыли геометрический объект, похожий на драгоценный камень, который значительно упрощает расчёты взаимодействий частиц и ставит под сомнение представление о том, что пространство и время являются фундаментальными составляющими реальности. 

«Это совершенно новое открытие, и оно намного проще всего того, что делалось ранее», — сказал Эндрю Ходжес, физик‑математик из Оксфордского университета, следивший за этой работой. 

Открытие того, что взаимодействия частиц — самые базовые явления в природе — могут быть следствием геометрии, значительно продвигает многолетние усилия по переформулировке квантовой теории поля — свода законов, описывающих элементарные частицы и их взаимодействия. Взаимодействия, которые ранее рассчитывались с помощью математических формул, состоящих из тысяч слагаемых, теперь можно описать путём вычисления объёма соответствующего «амплитуэдра», похожего на драгоценный камень, что даёт эквивалентное выражение, состоящее из одного слагаемого. 

«Степень эффективности модели просто ошеломляет», — сказал Джейкоб Бурджайли, физик‑теоретик из Гарвардского университета и один из исследователей, разработавших эту новую идею. «Теперь на бумаге можно без труда выполнять вычисления, которые раньше были невозможны даже с помощью компьютера». 

Новая геометрическая версия квантовой теории поля также может облегчить поиск теории квантовой гравитации, которая плавно соединила бы крупномасштабную и мелкомасштабную картины Вселенной. Попытки, предпринятые до сих пор с целью включения гравитации в законы физики на квантовом уровне, наталкивались на абсурдные бесконечности и глубокие парадоксы. Амплитуэдр или подобный ему геометрический объект мог бы помочь, устранив два глубоко укоренившихся принципа физики: локальность и унитарность. 

Возьмите функцию на комплексной плоскости, у которой производная существует всюду, кроме отдельных изолированных точек.

Что необходимо о ней знать, чтобы восстановить её целиком?

Ответ поразительный: достаточно списка точек, где функция не дифференцируема, и «силы» каждой поломки. Формулу написал шведский математик Гёста Миттаг-Леффлер, и она — одна из самых красивых в комплексном анализе.

В статье далее — электростатика на комплексной плоскости, спины у классических мультиполей, контрчлены как в квантовой теории поля, вывод в две строчки, самая дорогая ошибка Пуанкаре и разбор легенды о том, почему не бывает Нобелевской премии по математике. И картинки на matplotlib, разумеется, — с кодом.

Статья для тех, кто хочет по-настоящему понять суть основ комплексного анализа!

Привет, Хабр, в этой статье я хочу представить новую функцию активации для нейронных сетей под названием Kazry, которая по результатам тестов обошла SiLU.

Привет всем любителям физики и физического эксперимента! Сегодня день рождения Нила Армстронга, первого человека, ступившего на Луну в ходе экспедиции корабля «Аполлон-11». И тема соответствующая — по такому случаю мы даже сместили время публикации со вторника на среду. Давайте разбираться, как измерить расстояние от Земли до Луны.

Диэдральная группа — это математическое обозначение всех поворотов и отражений правильного многоугольника. Для n‑стороннего многоугольника всегда существует n возможных поворотов и n отражений, что даёт нам 2n возможных симметрий.

Сочетание любых двух симметрий даёт нам элемент из той же группы, и это превращает её в группу в математическом смысле.

Теория групп полезна при разработке игр. Я вспомнил об этом, прочитав девлог Factorio, в котором разработчик рассказал о проблемах, возникших из‑за того, что изначально он забыл учесть все случаи.

Любая гипотеза жива ровно до тех пор, пока о ней не спросят языковую модель в правильном настроении. Звучит как шутка. Но за последние недели эта шутка перестала быть шуткой трижды — и каждый раз по-разному эффектно.

1) Сначала чувак из Anthropic между таймами финала ЧМ опроверг гипотезу, которой было 87 лет — прямо в X. 2) Потом модель OpenAI закрыла проблему Эрдёша про расстояния на плоскости, 80 лет никто не мог. 3) А следом — доказательство полувековой гипотезы о двойном покрытии циклами в графах, добытое за час силами 64 параллельных субагентов. Если это совпадение, то очень организованное.

Короче, собираю всё в один текст — с разбором что вообще происходило, как выглядели твиты и доказательства, и почему у истории тревожный постскриптум - ту самую модель OpenAI, которая размотала Эрдёша, позже пришлось приостанавливать, потому что она слишком настойчиво вылезала из песочницы.

Когда пользователь загружает документ в систему, сначала нужно понять, что именно он прислал. Паспорт? Договор? Полис? Заявление? От этого зависит весь дальнейший сценарий обработки: какие поля искать, какие проверки выполнять и какой OCR использовать. Ошибка на этом этапе делает бессмысленной всю дальнейшую обработку. Мы покажем, что тип документа можно определить, вообще не читая его содержимое. Для этого не нужны OCR, нейронные сети или анализ текста – достаточно использовать геометрию документа.

В радиолокации и цифровой связи есть острая потребность кодировать зондирующие импульсы уникальным цифровым кодом с хорошей автокорреляционной функцией.
Для преодоления помех надо закачивать в импульс существенно большую энергию. Энергию можно закачивать в двух направлениях: либо в амплитуду передаваемого сигнала, либо в длительность излучения. Амплитуду невозможно увеличивать до бесконечности. Остается увеличивать длительность зондирующего импульса. Однако длинные монотонные импульсы портят разрешение по дальности. Чтобы не проиграть в разрешении по дальности длинные сигналы надо как-то модулировать. Вот тут-то и выходят на сцену М-последовательности.

Здесь, на Хабре, мы сталкиваемся с массой статей, претендующих на научную ценность. Чтобы четче понимать, что является научным, а что нет, @avshkolперевел свежую статью, в которой излагается современный взгляд на научный метод и показывается, как отличить то, что под него маскируется...

Представляю вам статью канадского ученого, физика-атомщика Байрона Дженнингса от 28 мая 2018 года. Это яркое, написанное простым и понятным языком, изложение того, что в современной науке принято называть научным методом. Дан широкий исторический экскурс в то, как эволюционировали методы в науке. Достается даже Эйнштейну, да что там, самому Попперу!.. Рекомендую для всех, кто хочет разобраться в том, как в современной науке отличают научно ценное от всего остального...

В этой статье мы напишем код для математического моделирования и компьютерной визуализации чёрных дыр, а также запишем ключевые уравнения, описывающие их.

Самое главное уравнение‑это уравнение поля Эйнштейна в общей теории относительности (Источник [1]):

Рефлексирующий рассказ о том, как я случайно попал в мир программируемых машин 6 лет назад, и как недавно во время обыденных размышлений докопался до ядра компьютера.

А лежали там не резисторы и даже не квантовые частицы, а красивая математическая модель, которую реализовали сначала на бумаге, а потом и в железе отцы-основатели компьютера в первой половине 20-го века, и по совместительству гениальные математики.

Представьте себе кромешную темноту карстовой пещеры, куда не проникают лучи солнечного света. В таких местах обитают маленькие, но очень интересные существа — летучие мыши. В непроглядной тьме эти ночные хищники уверенно летают, огибая каждый сталактит, и ловят крошечных насекомых для пропитания. Они не видят, но «слышат» окружающий мир с помощью эхолокации.

Я захотел воспроизвести их способность с применением микроконтроллера. Так родился проект — сонар на базе STM32F429. Для его создания я использовал простые доступные компоненты: микрофон, компьютерные колонки, микроконтроллер и ноутбук для отображения результатов. В этой статье я расскажу о том, как устроено моё устройство, какие сложности возникли при реализации, и что в итоге получилось.

В этом тексте я написал про то как упражняться в радиолокации на основе экспериментов в акустическом диапазоне. Я собрал прототип сонара и попробовал определять расстояния до условных целей.

В основании комплексных чисел лежит формула — определение мнимой единицы. На самом деле, это тождество не нужно постулировать. Его можно вывести.

Десятилетиями странные результаты экспериментов намекали: стерильное нейтрино существует. Оно разом объясняло бы сразу несколько загадок. Новые эксперименты эту надежду похоронили — и физики остались наедине с аномалиями, которые по-прежнему нечем объяснить. 

Нейтрино оказывают минимальное влияние на окружающий мир, какое только может оказывать частица. У них почти нет массы, а электрического и цветового заряда нет вовсе. В результате нейтрино не связаны с большинством сил природы; они могут проскальзывать сквозь целые планеты и звезды, не сталкиваясь ни с одним атомом.

Зато судьбы учёных они меняют легко.

В конце 1990-х годов, когда физики неожиданно обнаружили, что нейтрино обладают массой, Тьерри Лассерр оставил космологию, чтобы полностью посвятить себя изучению элементарных частиц. «Это было так захватывающе, что я просто не смог устоять», — сказал Лассерр, ныне физик в Институте ядерной физики Общества Макса Планка в Гейдельберге, Германия. А Марк Росс-Лонерган собирался стать метеорологом, пока в 2010 году случайно не столкнулся с физикой частиц и не изменил своё решение. Лассерр, Росс-Лонерган и тысячи других учёных посвятили карьеру исследованию этой почти инертной частицы.

Больше десяти лет казалось, что их работа вот-вот приведёт к прорыву. Эксперименты сообщали о странных явлениях, в которых нейтрино появлялись и исчезали. Эти результаты, наряду с загадочной массой нейтрино, указывали на одно потенциальное объяснение: «стерильный» тип нейтрино определённой массы, по-видимому, скрывался за кулисами, оставаясь необнаруженным.