Что должен рисовать художник? Чувство. Вечность. Шизофрению. Художественное искусство на заре цивилизации прожевало и выплюнуло попытки отражать реальность. Однако, когда художник садится создавать анимационную картину, то становится заложником геометрии. Искра, буря, безумие - должны состоять из кубов, точек и орезков. Дождь, пыль и блики - узлы математических блоков. Выйти за пределы геометрии можно совместив двухмерную и трехмерную графику в одном кадре. Сейчас это золотой стандарт анимации. А вот в оригами выйти за рамки геометрии невозможно. Парадоксальный сюжет необходимо воплотить своими руками в углах и биссектрисах универсального рабочего тела - квадрата. Думаю, что именно поэтому художники в технике оригами - представители конструктивного мышления - математики, физики, преподаватели технических вузов.

Наверное, среди бывших и нынешних студентов технических университетов, найдутся те, кто помнит приятное ощущение, когда кажущаяся сложной в начале математическая конструкция разложилась по полочкам и стала предельно ясной! Попробуем сложить простую картину взаимосвязи понятной с первых курсов векторной геометрии и таких материй, как алгебры Клиффорда, кватернионы и спиноры. 

Интерес начался со статьи «Единый математический язык для физики и инженерного искусства в 21 веке». Очень удобно, когда векторы можно переставлять местами в произведении и даже делить друг на друга, а повороты так и вообще задаются простейшими формулами. Но...

В 2014 году профессор математики Стэнфордского университета Марьям Мирзахани в одной из своих лекций упомянула интересную математическую головоломку, но не стала давать её решение. Спустя годы появились различные вариации задачи. Однако сначала речь пойдёт о первоисточнике.

Головоломка относится к классу так называемых «бильярдных задач», изучаемых в области динамических систем. Решение текущей задачи принадлежит профессору математики университета Джонса Хопкинса Эмили Рил.

Рассмотрим квадратную комнату в плоскости XY, и пусть A («ассасин») и T («цель») — две произвольные, но фиксированные точки внутри комнаты. Предположим, что комната схожа по физическим характеристикам с бильярдным столом, так что любой «выстрел» А рикошетит от стен, причём угол падения равен углу отражения. Можно ли заблокировать любой возможный «выстрел» А в Т, разместив конечное количество аналогичных по свойствам точек («телохранителей») в комнате?

Изучение структурных свойств стационарных динамических систем - хорошо изученная область теории дифференциальных уравнений. Иначе обстоит дело, если коэффициенты зависят от времени. Однако, такие системы достаточно часто встречаются в задачах механики и управления. Сегодня выделяют лишь классы нестационарных систем, свойства которых в достаточной мере изучены. В данной статье рассматривается один из таких классов - периодические системы.

Результаты могут быть использованы при изучении вопросов устойчивости программных движений различных механических объектов, линеаризованные модели которых описываются линейными нестационарными системами.

В огромном количестве игр про военную технику немаловажную роль играет упреждение. Обычно это остается на плечах игрока - где-то вы методом проб и ошибок развиваете навык сами, где-то вам помогает кружочек. Но в любом случае это весьма сложно - если вы конечно не андроид.

А андроидам полезно знать, как это упреждение вычислять. Хотя в этой статье и не рассматривается задача поиска упреждения в трех измерениях, на плоскости веселья будет не меньше.

В данной статье я постараюсь рассказать каким образом можно реализовать движение объектов по поверхности 3D геометрии.

Вывод уравнений тангажных колебаний для малых спутников на магнитной системе управления (по типу Университетский-Татьяна-2).

Американские граждане испытывают особый пиитет к лотереям, нашедший отражение в массовой культуре, а люди с нетерпением ждут очередных розыгрышей, формируя многомиллионные рейтинги телеканалам, транслирующим мероприятия в прямом эфире.

Однако в 1969 году всё приняло не стандартный оборот: в прямом эфире по указу президента Ричарда Никсона была проведена лотерея, в которой победители получали не денежный чек, а возможный билет во Вьетнам.

В начале 1990-х самым популярным расширителем DOS был DOS/4GW. Во время разработки Windows 95 я очень много времени тратил на решение задачи совместимости с играми под MS-DOS, поэтому видел много баннеров расширителей DOS, и чаще всего это был DOS/4GW.

Вы можете задаться вопросом: «Как эти игры вообще запускались в Windows 95, если они поставлялись с расширителем DOS? Разве расширитель не пытался бы безуспешно перейти в защищённый режим, потому что Windows уже управляла защищённым режимом?»

Хитрость заключалась в том. что эти расширители нас самом деле были двумя связанными друг с другом программами. Одна использовалась как сервер защищённого режима, а другая была клиентской библиотекой защищённого режима.

По сравнению с другими, ранее описанными мной архитектурами, архитектура Sony Playstation 1 (PSX) - сравнительно современная. И дело даже не в годе выпуска (1994) - скорее это общее ощущение сочетания новых возможностей и исчезновения привычных старых, которые были типичными для компьютеров и приставок предыдущей эпохи.

PSX (это сокращение пошло от первоначального названия проекта - Playstation X) имеет в качестве центрального процессора MIPS R3000, работающий на частоте 33МГц. Причём, Sony отказалось от сопроцессора для вычислений с плавающей точкой и вместо него сопроцессором в PSX является так называемый GTE (Geometry Transformation Engine), выполняющий различные операции с фиксированной точкой над векторами и матрицами.

В первой части мы рассмотрели внешнюю алгебру и поняли, что векторы нормали в 3D можно интерпретировать как бивекторы. Для преобразования бивекторов в общем случае нужна матрица отличная от той, которая преобразует обычные векторы. Воспользовавшись каноническим базисом для бивекторов, мы выяснили, что это присоединённая матрица, которая пропорциональна обратной транспонированной. Эти рассуждения хотя бы частично объяснили почему нормали преобразуются обратной транспонированной матрицей.

Но некоторые вопросы были заметены под ковёр.

Есть такой загадочный факт о линейных преобразованиях: некоторые из них, а именно неоднородное масштабирование и сдвиг, по какой-то причине различают "обычные" векторы и нормали. Когда мы преобразуем "обычный" вектор матрицей, то нормали почему-то нужно преобразовывать обратной транспонированной матрицей. Как это понять?

С помощью нехитрых выкладок можно убедиться, что обратная транспонированная матрица сохраняет перпендикулярность нормалей к своим касательным плоскостям. В какой-то степени этого доказательства достаточно, но оно упускает более глубокую и интересную историю о стоящей за всем этим геометрии. Эту историю я и хочу поведать в нескольких следующих статьях.

Введение