Время от времени мне встречаются вопросы по математике, которые в каком-то смысле можно назвать «грамматически неверными».
Пример. «Интервал
является замкнутым или открытым?»
Пример. «Является ли
группой?»
Пример. «Каков ряд Фурье для
?»
А вот ещё более глупые примеры.
Пример. «Является ли прямоугольник простым?»
Пример. "
?"
Пример. «Каков ряд Фурье для пустого множества?»
Объединяет все эти примеры то, что они являются
ошибками типизации: это попытки применения некого математического процесса к математическому объекту, который никак не может быть входными данными для него. Если для ответа на эти вопросы вы попытаетесь написать программу на каком-нибудь высоко математическом языке программирования, то она (я надеюсь!) не скомпилируется.
Математические объекты обычно не воспринимаются явно как имеющие типы в том же смысле, что и объекты в языках программирования с
системой типов. Предполагается, что обычная математика должна формализироваться в
системе Цермело — Френкеля (ZF), возможно, с аксиомой выбора, а в ZF каждый математический объект конструируется как множество. В этом смысле все эти объекты имеют одинаковый тип. (В частности, вопрос "
" вполне логичен в ZF! И это одна из причин, по которой стоит не любить ZF в качестве основы для математики.) Однако, мне кажется, что на практике математические объекты неявно воспринимаются, как имеющие типы, и такой образ мышления математики усваивают, но не часто обсуждают.
